70 - 2018/19

415. Точки $X$ и $Y$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC,$ при этом $AX = AY$ и отрезок $XY$ проходит через ортоцентр треугольника $ABC.$ Прямые, касающиеся описанной окружности треугольника $AXY$ в точках $X$ и $Y,$ пересекаются в точке $P.$ Докажите, что точки $A,$ $B,$ $C,$ $P$ лежат на одной окружности.

416. Даны простое число $p$ и целое число $r$ такие, что $r^7-1$ делится на $p.$ Докажите, что если найдутся целые числа $a$ и $b$ такие, что и $r+1-a^2$ и $r^2+1-b^2$ делятся на $p,$ то найдется и целое число $c$ такое, что $r^3+1-c^2$ делится $p.$

417. На приеме встретились $n \ge 3$ гостей, некоторые из которых знакомы. Оказалось, что на приеме нет четырех разных гостей $a,$ $b,$ $c,$ $d$ таких, что в парах $\{a, b\},$ $\{b, c\},$ $\{c, d\},$ $\{d, a\}$ гости знакомы, а в парах $\{a, c\},$ $\{b, d\}$ гости не знакомы.
Назовем \textit{Максимальной кликой} непустое множество $X,$ состоящее из гостей (возможно одноэлементное) такое, что гости из $X$ попарно знакомы, но нет ни одного гостя не из $X,$ который был бы знаком со всеми гостями из $X.$
Докажите, что на приеме есть не более $\frac{n(n-1)}{2}$ различных максимальных клик.
Примечание. Если гость $a$ знаком с гостем $b,$ то и гость $b$ знаком с гостем $a.$

418. Даны положительные целые числа $n,$ $k,$ $\ell$ и инъективная функция $\sigma,$ отображающая множество $\{1, 2, ..., n\}$ на себя, такая, что для любого числа $x \in \{1, 2, ..., n\}$ значение выражения $\sigma(x) - x$ равно $k$ или $-\ell.$ Докажите, что число $n$ делится на $k + \ell.$

419. Последовательность положительных чисел $a_0, a_1, ..., a_n$ задается условиями: $a_0$ --- целое число, $\sum^n_{i=1} \frac{1}{a_i} \le 1$ и $a_i \le a_{i-1}+1$ для всех $i \in \{1, 2, ..., n\}.$ Докажите, что \[n \le 4a_0 \cdot \sum^n_{i=1} \frac{1}{a_i}.\]

420. Окружность $\Omega$ описана около остроугольного треугольник $ABC.$ Точка $D$ --- середина той дуги $BC$ окружности $\Omega,$ которая не содержит точку $A.$ Окружность $\omega$ с центром в точке $D$ касается отрезка $BC$ в точке $E.$ Касательные к окружности $\omega,$ проходящие через точку $A,$ пересекают прямую $BC$ в точках $K$ и $L,$ при этом точки $B,$ $K,$ $L,$ $C$ лежат в указанной последовательности на прямой $BC.$ Окружность $\gamma_1$ касается отрезков $AL$ и $BL,$ так же она касается окружности $\Omega$ в точке $M.$ Окружность $\gamma_2$ касается отрезков $AK$ и $CK,$ так же она касается окружности $\Omega$ в точке $N.$ Прямые $KN$ и $LM$ пересекаются в точке $P.$ Докажите, что $\angle KAP = \angle EAL.$