Страшевич С, Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Предисл. А. Пелчинского и А. Шинцеля. Пер. с польск. Ю. А. Данилова под ред. В. М. Алексеева. --- M. «Мир», 1978. 338 с. с ил.
П3Р
Сообщений 61 страница 70 из 71
Поделиться612020-02-10 00:28:36
60 - 2008/09
355. Каждая вершина выпуклого шестиугольника является центром круга, длина радиуса которого равна длине меньшей стороны шестиугольника, содержащей эту вершину. Докажите, что если общая часть всех шести кругов (включая их границу) непуста, то шестиугольник правильный.
356. Пусть обозначает множество точек плоскости с целыми координатами. Найдите наименьшее положительное целое число k, для которого существует 60–элементное подмножество множества S такое, что для любых двух элементов A и B этого подмножества найдется точка C \in S такая, что площадь треугольника ABC равна k.
357. Даны многочлены P, Q, R с целыми коэффициентами степени не меньше единицы такие, что для любого действительного числа x верны равенства P(Q(x)) = Q(R(x)) = R(P (x)). Покажите, что P = Q = R.
358. Сумма неотрицательных чисел x_1,x_2,\cdots ,x_n равна 1. Докажите, что найдутся числа a_1,a_2,\cdots ,a_n \in \{0, 1, 2, 3, 4\} такие, что (a_1,a_2,\cdots ,a_n) \neq (2, 2,\cdots , 2) и 2 \leqslant a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \leqslant 2+ \frac{2}{3^n-1}.
359. Сфера вписаная в тетраэдр ABCD касается граней BCD, ACD, ABD, ABC в точках P, Q, R, S соответственно. Отрезок PT --- диаметр сферы, точки A', Q', R', S' являются точками пересечения прямых TA, TQ, TR, TS с плоскостью BCD. Покажите, что A' --- центр описанной окружности треугольника Q'R'S'.
360. Число n \geqslant 3 натуральное. Последовательность неотрицательных чисел (c_0,c_1,\cdots ,c_n) удовлетворяет условию c_pc_s + c_rc_t = c_{p+r}c_{r+s} для всех p, r, s, t \geqslant 0 таких, что p + r + s + t = n. Определите все возможные значения c_2, если c_1 =1.
Поделиться622020-02-10 00:28:47
61 - 2009/10
361. Даны целое число n > 1 и множество S \subseteq \{0,1,2,\ldots,n-1\}, содержащее более чем \frac{3}{4}n элементов. Докажите, что существуют такие целые числа a, b, c, что остатки от деления на n чисел a,\ b,\ c,\ a+b,\ a+c,\ b+c,\ a+b+c принадлежат множеству S.
362. Положительные рациональные числа a и b удовлетворяют равенству a^3 + 4a^2b = 4a^2 +b^4. Покажите, что число \sqrt{a}-1 является квадратом рационального числа.
363. Дан параллелограмм ABCD с острым углом DAB. Точки A, P, B, D лежат в указанном порядке на окружности. Прямые AP и CD пересекаются в точке Q. Точка O --- центр описанной окружности треугольника CPQ. Покажите, что если D\neq O, по прямые AD и DO перпендикулярны.
364. На стороне BC треугольника ABC отмечены различные точки D и E, при этом BD < BE. Пусть p_1 и p_2 обозначают периметры ABC и ADE. Докажите, что p_1 > p_2 + 2\cdot \min\{BD,EC\}.
365. Простое число p > 3 дает остаток 2 при делении на 3. Пусть a_k = k^2 +k+ 1\quad \text{для}\ k = 1,2,3,\ldots, p-1. Покажите, что произведение a_1a_2a_3 \ldots a_{p-1} дает остаток 3 при делении на p.
366. Дано действительное число C > 1. Последовательность положительных действительных чисел a_1, a_2, a_3, ..., в которой a_1 = 1 и a_2 = 2, удовлетворяет условиям a_{mn} = a_ma_n\quad \text{и}\quad a_{m+n} \leq C(a_m +a_n) для m,n = 1,2,3,\ldots. Докажите, что a_n = n\ \text{для}\ n = 1,2,3,\ldots.
Поделиться632020-02-10 00:28:58
62 - 2010/11
367. Найдите все целые числа n \geq 1 такие, что существует перестановка (a_1, a_2,\ldots, a_n) элементов множества (1,2,\ldots,n) такая, что для k = 1,2,\ldots,n сумма a_1 +a_2 +\ldots+a_k делится на k.
368. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA, AB соответственно в точках D, E, F. Рассмотрим три прямые: прямую проходящую через середины отрезков AE и AF, прямую проходящую через середины отрезков BF и BD и прямую проходящую через середины отрезков CD и CE. Покажите, что центр описанной окружности треугольника, заданного точками пересечения этих трёх прямых, совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC.
369. Для каждого нечётного числа n \geq 3 определите количество действительных решений (x_1,x_2,\ldots,x_n) системы уравнений \left\{\begin{array}{c} x_1(x_1 + 1) = x_2(x_2 -1)\\ x_2(x_2 + 1) = x_3(x_3 -1)\\ \vdots\\ x_n(x_n + 1) = x_1(x_1 -1) \end{array}\right.
370. Найдите все пары функций f, g, определенных на множестве действительных чисел и принимающих действительные значения, такие, что для любых действительных чисел x, y выполняется равенство f(x)f(y) = g(x)g(y)+g(x)+g(y).
371. Высоты тетраэдра ABCD пересекаются в точке H, лежащей внутри тетраэдра. Прямая DH пересекает грань ABC в точке P, а описанную около тетраэдра сферу в точке Q отличной от D. Докажите, что PQ = 2HP.
372. Докажите, что не существуют многочлены f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x) с рациональными коэффициентами такие, что для всех действительных чисел x выполняется равенство x^2 + 7 = (f_1(x))^2 + (f_2(x))^2 + (f_3(x))^2 + (f_4(x))^2.
Поделиться642020-02-10 00:29:10
63 - 2011/12
373. Определите, есть ли такое положительное рациональное, но не целое, число w, что w^w --- рациональное число.
374. Найдите все пары (m,n) положительных целых чисел, для которых куб K с ребром n можно покрыть прямоугольными блоками размером m\times 1\times 1 так, чтобы получившийся куб с ребром n+2 имел тот же центр, что и K.
375. Треугольник ABC, в котором AB = AC, вписан окружность в o. Окружности o_1 и o_2, лежащие вне треугольника ABC, внутренним образом касаются окружности o соответственно в точках P и Q, и касаются отрезков AB и AC соответственно. Пусть m будет такой касательной к окружностям o_1 и o_2, что точки P и Q лежат с противоположной стороны от точки A. Прямая m пересекает отрезки AB и AC соответственно в точках K и L. Докажите, что прямые PK и QL пересекаются на биссектрисе угла BAC.
376. В турнире приняли участие n игроков (n\geq4). Каждый игрок сыграл с каждым ровно один раз, ничьих не было. Известно, что не было таких четырёх игроков (A,B,C,D), что A выиграл у B, B выиграл у C, C выиграл у D и D выиграл у A. Найдите, в зависимости от n, наибольшее возможное количество таких троек игроков (A,B,C), что A выиграл у B, B выиграл у C и C выиграл у A.
(Примечание: Тройки (A,B,C), (B,C,A) и (C,A,B) рассматривайте как одну тройку.)
377. В остроугольном треугольнике ABC точка O --- центр описанной окружности, а биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D. Пусть M будет такой точкой, что MC\perp BC и MA\perp AD. Прямые BM и OA пересекаются в точке P. Докажите, что окружность с центром P, проходящая через точку A, касается прямой BC.
378. Докажите, что для любых положительных действительных чисел a, b, c выполняется неравенство \left( \frac{a-b}{c} \right)^2 + \left( \frac{b-c}{a} \right)^2 + \left( \frac{c-a}{b} \right)^2 \geq 2\sqrt{2} \left( \frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b} \right).
Поделиться652020-02-10 00:29:22
64 - 2012/13
379. Решите уравнение x^4 + y = x^3 + y^2 в целых числах x, y.
380. Даны целые числа a и b такие, что a \neq 0 и число 3+a+b^2 делится на 6a. Покажите, что число a отрицательно.
381. Дан четырёхугольник ABCD, в который можно вписать окружность. Отрезки AB, BC, CD и DA --- диаметры окружностей o_1, o_2, o_3 и o_4. Докажите, что существует окружность, которая касается каждой из окружностей o_1, o_2, o_3 и o_4.
382. Дан тетраэдр ABCD, в котором AB = CD и \angle BAD + \angle BCD = 180^\circ. Докажите, что \angle BAD > \angle ADC.
383. Пусть k, m и n будут тремя различными положительными целыми числами. Покажите, что \left(k - \frac{1}{k}\right) \left(m - \frac{1}{m}\right) \left(n - \frac{1}{n}\right) \leq kmn - (k + m + n).
384. Для каждого целого числа n \geq 1 определите наибольшее количество точек пространства, образующих множество A, удовлетворяющее условиям:
(1) координаты каждой точки множества A являются целыми числами, принадлежащими интервалу (0; n);
(2) для каждой пары различных точек (x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3) множества A выполняется по крайней мере одно из неравенств x_1 < y_1, x_2 < y_2, x_3 < y_3 и по крайней мере одно из неравенств x_1 > y_1, x_2 > y_2, x_3 > y_3.
Поделиться662020-02-10 00:29:34
65 - 2013/14
385. Даны взаимно простые целые числа k,n\geq1. На доске в некотором порядке написаны все положительные целые числа, не превышающие k+n. За один ход можно поменять местами два числа отличающиеся на k или n. Докажите, что можно с помощью нескольких ходов получить на доске стоящие по порядку числа --- 1, 2, ..., k+n-1, k+n.
386. Даны целые числа k\geq2, n\geq1, a_1, a_2, \ldots, a_k и b_1, b_2, \ldots, b_n, такие, что 1< a_1 < a_2 <\ldots< a_k < b_1 < b_2 <\ldots< b_n. Покажите, что если a_1 +a_2 +\ldots+a_k > b_1 +b_2 +\ldots+b_n, то a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots\cdot a_k > b_1 \cdot b_2 \cdot \ldots\cdot b_n.
387. Все грани тетраэдра ABCD, вписанного в сферу с центром O, являются остроугольными треугольниками. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно плоскости ABC, пересекает сферу в точке D', лежащей с другой стороны от плоскости ABC относительно точки D. Прямая DD' пересекает плоскость ABC в точке P, лежащей внутри треугольника ABC. Докажите, что если \angle APB = 2\angle ACB, то \angle ADD' = \angle BDD'.
388. Пусть Q_+ обозначает множество положительных рациональных чисел. Найдите все функции f : Q_+ \to Q_+ такие, что для всех целых чисел n \geq 1 и всех рациональных чисел q > 0 выполняется равенство
\underbrace{f(f(f(\ldots{f}(f}_{n}(q))\ldots))) = f(nq).
389. Найдите все пары положительных целых чисел x, y, удовлетворяющие равенству 2^x + 17 = y^4.
390. В остроугольном треугольнике ABC точка D есть основание высоты, опущенной из вершины A, а точки M и N --- ортогональные проекции точки D соответственно на AB и AC. Прямые MN и AD пересекают описанную окружность треугольника ABC соответственно в точках P,Q и A,R. Докажите, что точка D является центром вписанной окружности треугольника PQR.
Поделиться672020-02-10 00:29:45
66 - 2014/15
391. В треугольнике ABC угол при вершине A наименьший. Точки D и E лежат соответственно на сторонах AB и AC, при этом \angle CBE = \angle DCB = \angle BAC. Покажите, что середины отрезков AB, AC, BE, CD лежат на одной окружности.
392. Дан многочлен P с действительными коэффициентами. Докажите, что если для некоторого целого числа k число P(k) не является целым, то существует бесконечно много таких целых чисел m, для которых число P(m) не является целым.
393. Найдите наибольшее натуральное число m такое, что среди любых пяти 500-элементных подмножеств множества \{1, 2, \ldots, 1000\} найдутся два, пересечение которых содержит не менее m элементов.
394. Решите систему уравнений \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1\\ x^5 + y^5 + z^5 = 1 \end{array}\right. в действительных числах x, y, z.
395. Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны в том и только том случае, когда внутри четырехугольника есть точка, ортогональные проекции которой на стороны четырехугольника являются вершинами прямоугольника.
396. Покажите, что для каждого положительного целого числа a найдется целое число b > a такое, что число 1 + 2^b + 3^b делится на 1 + 2^a + 3^a.
Поделиться682020-02-10 00:29:57
67 - 2015/16
397. Дано простое число p. Найдите все неотрицательные целые числа n, для которых многочлен W(x) = x^4 - 2(n + p)x^2 + (n - p)^2 может быть записан в виде произведения двух квадратных трехчленов с целыми коэффициентами.
398. Окружность \omega с центром I вписана в выпуклый четырехугольник ABCD и касается стороны AB в точке M, а стороны CD --- в точке N, при этом \angle BAD + \angle ADC < 180^\circ. На прямой MN выбрана такая точка K \neq M, что AK = AM. Докажите, что прямая ID проходит через середину отрезка KN.
399. Даны положительные целые числа a и b. Пусть f(a, b) обозначает количество таких a–членных последовательностей целых чисел, что сумма абсолютных значений их членов не превышает b. Покажите, что f(a, b) = f(b, a).
400. Даны нечетные положительные целые числа k, n отличные от 1. Покажите, что если существует натуральное число a такое, что (1)\quad k | 2^a + 1\ \text{и}\ n | 2^a - 1, то не найдется натурального числа b такого, что (2)\quad n | 2^b + 1\ \text{и}\ k | 2^b - 1.
Примечание. Запись p | q обозначает, что целое число p является делителем целого числа q.
401. Даны положительные действительные числа a < b. Докажите, что найдутся положительные целые числа p, q, r, s такие, что a < \frac{p}{q} < \frac{r}{s} < b и p^2 + q^2 = r^2 + s^2.
402. Точка I является центром вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая AI пересекает прямую BC в точке D и описанную окружность треугольника ABC в точке S \neq A. Точка K --- центр вписанной окружности треугольника DSB, а точка L --- центр вписанной окружности треугольника DSC. Точка P симметрична точке I относительно прямой KL. Покажите, что угол BPC прямой.
Поделиться692020-02-10 00:30:08
68 - 2016/17
403. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем BP=CQ. Отрезки BQ и CP пересекаются в точке R. Описанные окружности треугольников BPR и CQR пересекаются повторно в точке S отличной от R. Докажите, что точка S лежит на биссектрисе угла BAC.
404. Последовательность (a_1, a_2,\ldots, a_k), состоящая из попарно различных клеток шахматной доски n\times n, называется циклом, если k\geq 4 и клетки a_i и a_{i+1} имеют общую сторону для всех i=1,2,\ldots, k, где a_{k+1}=a_1. Подмножество X, состоящее из клеток доски, назовем вредным, если каждый цикл содержит по крайней мере одну клетку из X.
Найдите все действительные числа C такие, что для каждого целого числа n\geq 2 на доске размером n\times n существует вредное подмножество, содержащее не более Cn^2 клеток.
405. Целые числа a_1, a_2, \ldots, a_n удовлетворяют неравенству 1<a_1<a_2<\ldots < a_n < 2a_1. Докажите, что если m --- количество различных простых делителей a_1a_2\cdots a_n, то (a_1a_2\cdots a_n)^{m-1}\geq (n!)^m.
406. Докажите, что множество положительных целых чисел \mathbb Z^+ = \{1, 2, 3, \ldots\} можно представить в виде суммы пяти попарно различных подмножеств таких, что каждая пятерка чисел (n,2n,3n,4n,5n), где n\in\mathbb Z^+, содержит ровно по одному числу из каждого из этих пяти подмножеств.
407. Точка M --- середина стороны BC треугольника ABC, в котором AB=AC. Точка D --- ортогональная проекция точки M на сторону AB. Окружность \omega вписана в треугольник ACD и касается отрезков AD и AC соответственно в точках K иd L. Касательные к \omega, проходящие через точку M, пересекают прямую KL в точках X и Y, причем точки X, K, L, Y лежат в указанном порядке на прямой KL. Докажите, что точки M, D, X, Y лежат на одной окружности.
408. Даны три последовательности неотрицательных действительных чисел (a_0, a_1, \ldots, a_n), (b_0, b_1, \ldots, b_{n}), (c_0, c_1, \ldots, c_{2n}) такие, что для всех 0\leq i,j\leq n выполняется неравенство a_ib_j\leq (c_{i+j})^2. Докажите, что \sum_{i=0}^n a_i\cdot\sum_{j=0}^n b_j\leq \left( \sum_{k=0}^{2n} c_k\right)^2.
Поделиться702020-02-10 00:30:22
69 - 2017/18
409. Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB < AC. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D. Точка M --- середина стороны BC. Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей треугольников ABC и ADM параллельна прямой AD.
410. Дано n-элементное подмножество S точек плоскости с целыми координатами, число n нечетное. Инъективная функция f : S \to S удовлетворяет условию: для каждой пары точек A, B \in S расстояние между точками f(A) и f(B) не меньше расстояния между точками A и B. Докажите, что существует точка X \in S такая, что f(X) = X.
411. Найдите все действительные числа c, для которых существует функция f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} такая, что для всех x, y \in \mathbb{R} выполняется равенство f(f(x) + f(y)) + cxy = f(x + y).
412. Целое число назовем \textit{безквадратным}, если оно не делится ни на один целого числа, отличного от 1.
Пусть n обозначает положительное целое число. Предположим, что в множестве \{1, 2, 3, ..., n\} есть ровно M таких безквадратных чисел k, что число \left\lfloor \dfrac{n}{k} \right\rfloor нечетно. Докажите, что число M нечетно.
Примечание. Для данного числа x выражение \lfloor{x}\rfloor означает наибольшее целое число, которое не превышает x.
413. Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB < AC. Точки E и F --- основания высот, проведенных из его вершин B и C, соответственно. Прямая, касающаяся в точке A описанной окружности треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке P. Прямая, параллельная прямой BC и проходящая через точку A, пересекает прямую EF в точке Q. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна медиане треугольника ABC, проведенной из вершины A.
414. Дано простое число p большее 3. Пусть K обозначает количество перестановок (a_1, a_2, ..., a_p) элементов множества \{1, 2, ..., p\} таких, что значение выражения a_1a_2 + a_2a_3 + . . . + a_{p-1}a_p + a_pa_1 делится на p. Докажите, что K + p делится на p^2.