Страшевич С, Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Предисл. А. Пелчинского и А. Шинцеля. Пер. с польск. Ю. А. Данилова под ред. В. М. Алексеева. --- M. «Мир», 1978. 338 с. с ил.
П3Р
Сообщений 51 страница 60 из 71
Поделиться512020-02-10 00:26:33
50 - 1998/99
295. Точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC,$ при этом $AD > BC.$ Точка $E$ лежит на стороне $AC$ и \[ \frac{AE}{EC} = \frac{BD}{AD - BC}. \] Докажите, что $ AD > BE.$
296. Даны неотрицательные целые числа $a_1 <a_2 <a_3 < \ldots < a_{101}$ меньшие $5050.$ Докажите, что можно выбрать четыре различных числа $a_k,$ $a_l,$ $a_m,$ $a_n$ такие, что число $a_k + a_l - a_m - a_n$ делится на $5050.$
297. Докажите, что найдутся такие натуральные числа $n_1 < n_2 < \ldots < n_{50},$ что \[ n_1 + S(n_1)= n_2 + S(n_2)= n_3 + S(n_3)= \ldots = n_{50} + S(n_{50}), \] где $S(n)$ обозначает сумму цифр числа $n.$
298. Определите, для каких натуральных чисел $n \geq 2$ система уравнений \[ \left\{\begin{array}{c} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+50=16x_{1}+12x_{2}\\ x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+50=16x_{2}+12x_{3}\\ x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+50=16x_{3}+12x_{4}\\ \vdots\\ x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}+50=16x_{n-1}+12x_{n}\\ x_{n}^{2}+x_{1}^{2}+50=16x_{n}+12x_{1} \end{array} \right. \] имеет решение в целых числах $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n.$
299. Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_n,$ $b_1, b_2, \ldots, b_n$ будут целыми числами. Докажите, что \[ \sum_{1 \leq i < j \leq n}(|a_i-a_j|+|b_i-b_j|)\leq\sum_{1\leq i,j\leq n}|a_i-b_j|. \]
300. Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ такой, что: \[ \measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = 360^\circ ,\qquad \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA}=1. \] Докажите, что \[ \frac{AB}{BF} \cdot \frac{FD}{DE} \cdot \frac{EC}{CA}=1. \]
Поделиться522020-02-10 00:26:48
51 - 1999/00
301. Дано целое число $n \geq 2.$ Найдите количество решений $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ системы уравнений \[ \left\{\begin{array}{c} x_{2}+x_{1}^{2}=4x_{1}\\ x_{3}+x_{2}^{2}=4x_{2}\\ x_{4}+x_{3}^{2}=4x_{3}\\ \vdots\\ x_{n}+x_{n-1}^{2}=4x_{n-1}\\ x_{1}+x_{n}^{2}=4x_{n} \end{array}\right. \] в неотрицательных действительных числах.
302. Дан треугольник $ABC,$ в котором $AC = BC.$ Точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC$ и $\measuredangle PAB = \measuredangle PBC.$ Точка $M$ является серединой стороны $AB.$ Докажите, что \[ \measuredangle APM + \measuredangle BPC = 180^\circ. \]
303. Последовательность натуральных чисел $(p_n)$ удовлетворяет следующим условиям: $p_1$ и $p_2$ являются простыми числами, для $n \geq 3$ числа $p_n$ являются наибольшим простым делителем числа $p_{n-1} + p_{n-2} + 2000.$ Докажите, что последовательность $(p_n)$ ограничена.
304. В правильной пирамиде с вершиной $S$ и основанием $A_1A_2\ldots{A_n}$ все боковые рёбра составляют с плоскостью основания угол $60^\circ.$ Для каждого натурального числа $n \geq 3$ решите, можно ли выбрать такие точки $B_2, B_3, \ldots, B_n,$ лежащие на боковых рёбрах $A_2S, A_3S, \ldots, A_nS,$ что \[ A_1B_2 + B_2B_3 + B_3B_4 +\ldots + B_{n-1}B_n + B_nA_1 < 2A_1S. \]
305. Для данного натурального числа $n \geq 2$ найдите наименьшее число $k,$ обладающее свойством: из любого $k$-элементного набора полей шахматной доски $n \times n$ можно выбрать такое непустое подмножество, что число полей этого подмножества в каждом столбце и в каждой строке шахматной доски чётно.
306. Степень многочлена $P(x)$ с действительными коэффициентами нечётна. Кроме того, для всех $x$ выполняется \[ P (x^2 - 1)= (P (x))^2 - 1. \] Докажите, что для всех действительных чисел $x$ верно равенство \[ P(x) = x. \]
Поделиться532020-02-10 00:26:58
52 - 2000/01
307. Докажите, что любого натурального числа $n \geq 2$ и любых неотрицательных действительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ выполняется неравенство \[ \sum_{i=1}^{n} ix_{i} \leq \binom{n}{2} + \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{i}. \]
308. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри правильного тетраэдра с ребром длины $1,$ то его вершин не больше $3.$
309. Рассмотрим последовательность $(x_n),$ заданную рекуррентными формулами \[ x_{1}=a,\ x_{2}=b\ \textrm{и}\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{для}\ n=1,2,3,\ldots, \] где $a$ и $b$ являются действительными числами.
Число $c$ назовем повторяющимся числом последовательности $(x_n),$ если найдутся два разных положительных целых числа $k$ и $l$ такие, что $x_k = x_l = c.$ Покажите, что можно так подобрать числа $a$ и $b,$ чтобы в последовательности $(x_n)$ нашлось не менее $2000$ повторяющихся чисел, но нельзя подобрать $a$ и $b$ так, чтобы в последовательности существовало бесконечное количество повторяющихся чисел.
310. Целые числа $a$ и $b$ таковы, что для каждого неотрицательного целого числа $n$ число $2^na + b$ является квадратом целого числа. Докажите, что $a = 0.$
311. Точки $K$ и $L$ лежат соответственно на сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD,$ при этом $BK \cdot AD = DL \cdot AB.$ Отрезки $DK$ и $BL$ пересекаются в точке $P.$ Покажите, что $\measuredangle DAP = \measuredangle BAC.$
312. Даны положительные целые числа $n_1 < n_2 < ... < n_{2000} < 10^{100}.$ Докажите, что из множества $\{n_1, n_2, ..., n_{2000}\}$ можно выбрать непустые непересекающиеся подмножества $A$ и $B$ с равным количеством элементов, с равной суммой элементов и с равной суммой квадратов их элементов.
Поделиться542020-02-10 00:27:10
53 - 2001/02
313. Найдите все тройки натуральных чисел $a,$ $b,$ $c,$ что числа $a^2 +1$ и $b^2 +1$ являются простыми и \[ (a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1. \]
314. На сторонах $AC$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ построены, во внешнюю сторону, прямоугольники $ACPQ$ и $BKLC$ с равными площадями. Докажите, что середина отрезка $PL,$ точка $C$ и центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ лежат на одной прямой.
315. На доске написаны три неотрицательных целых числа. Из этих чисел выбираем два числа $k,$ $m$ и заменяем их числами $k + m$ и $|k - m|,$ а третье число оставляем без изменения. Так же поступаем с полученной тройкой чисел. Определите, можно ли из любых трех исходных неотрицательных чисел, продолжая эту процедуру, получить три, в которых как минимум два будут нулями.
316. Докажите, что для всех натуральных чисел $n \geq 3$ и для всех последовательностей неотрицательных чисел $x_1, x_2, ..., x_n$ выполняется хотя бы одно из неравенств \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}} \geq \frac{n}{2},\ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{x_{i-1}+x_{i-2}} \geq \frac{n}{2} \] (примем, что $x_{n+1}=x_{1},\ x_{n+2}=x_{2}$ и $x_{0}=x_{n},\ x_{-1}=x_{n-1} $).
317. В пространстве даны треугольник $ABC$ и сфера $s,$ не пересекающая плоскость $ABC.$ Через каждую из точек $A,$ $B,$ $C$ проведена касательная к этой сфере. Точки касания обозначены соответственно как $K,$ $L,$ $M.$ Точка $P$ лежит на сфере $s$ так, что \[ \frac{AK}{AP} = \frac{BL}{BP} = \frac{CM}{CP}. \] Докажите, что сфера, описанная около тетраэдра $ABCP,$ касается сферы $s.$
318. Дано натуральное число $k.$ Последовательность $(a_n)$ задается равенство \[ a_{1}=k+1,\ a_{n+1}=a_{n}^{2}-ka_{n}+k\ \textrm{dla}\ n\geq 1. \] Покажите, что если $m \ne n,$ то числа $a_m$ и $a_n$ взаимно простые.
Поделиться552020-02-10 00:27:20
54 - 2002/03
319. В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезок $CD$ является высотой. Через середину $M$ стороны $AB$ проведена прямая, пересекающая лучи $CA$ и $CB$ соответственно в точках $K$ и $L$ так, что $CK = CL.$ Точка $S$ является центром окружности, описанной около треугольника $CKL.$ Покажите, что $SD = SM.$
320. Число $a$ положительно и меньше 1. Докажите, что для каждой конечной, строго возрастающей последовательности неотрицательных целых чисел ($k_1, ..., k_n$) выполняется неравенство \[ \left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}. \]
321. Найдите все многочлены $W$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющие следующему условию: для каждого натурального числа $n$ число $2^n-1$ делится на $W(n).$
322. Даны простое число $p$ и целые числа $x,$ $y,$ $z$ (\( 0 <x <y < z <p \)). Покажите, что если числа $x^3,$ $y^3,$ $z^3$ дают равные остатки от деления на $p,$ то число $x^2 + y^2 + z^2$ делится на $x + y + z.$
323. Сфера вписана в тетраэдр $ ABCD $ и касается грани $ABC$ в точке $H.$ Другая сфера касается грани $ABC$ в точке $O$ и плоскостей, содержащих другие грани, в не принадлежащих тетраэдру точках. Докажите, что если $O$ является центром описанной около треугольника $ABC$ окружности, то $H$ является точкой пересечения высот этого треугольника.
324. Пусть $n$ обозначает четное положительное целое число. Докажите, что есть перестановка $(x_1, x_2, ..., x_n)$ элементов множества $\{1, 2, ..., n\}$ такая, что для всех $i \in \{1, 2, ..., n\}$ верно, что $x_{i+1}$ --- одно из чисел $2x_i,$ $2x_i-1,$ $2x_i-n,$ $2x_i-n-1,$ где $x_{n+1} = x_1.$
Поделиться562020-02-10 00:27:37
55 - 2003/04
325. Точка $D$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC.$ Окружности, касающиеся прямых $AC$ и $BC$ соответственно в точках $A$ и $B,$ пересекаются в точках $D$ и $E.$ Пусть $F$ симметрична точке $C$ относительно срединного перпендикуляра отрезка $AB.$ Покажите, что точки $D,$ $E$ и $F$ лежат на одной прямой.
326. Пусть $W$ обозначает многочлен с целыми коэффициентами, принимающий взаимно простые значения для двух разных целых чисел. Докажите, что найдется бесконечное множество целых чисел таких, что для каждой пары его различных элементов многочлен $W$ принимает взаимно простые значения.
327. В одном турнире приняли участие $n$ игроков $(n \geq 3).$ Каждый играл с каждым ровно один раз, ничьих не было. Назовем трёхэлементное множество игроков триничейным, если можно пронумеровать этих игроков так, что первый выиграл у второго, второй у третьего, третий у первого. Определите наибольшее количество триничейных множеств, которые могли появиться на турнире.
328. Докажите, что если $a,$ $b,$ $c$ являются действительными числами, то \[ \begin{array}{l} \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}+ \sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+ \sqrt{2(c^{2}+a^{2})}\geq \\ \qquad \qquad \qquad \geq\sqrt{3(a+b)^{2}+ 3(b+c)^{2} +3(c+a)^{2}}. \end{array} \]
329. Определите наибольшее количество прямых линий в пространстве, проходящих через фиксированную точку и таких, чтобы каждые две пересекались под равным углом.
330. Дано целое число $m>1.$ Бесконечная последовательность целых чисел $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ ... определяется условиями \[ x_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 2^{i}&\textrm{для}\ i<m,\\ x_{i-1}+x_{i-2}+\ldots+x_{i-m}&\textrm{для}\ i \geq m. \end{array}\right. \] Определите наибольшее натуральное число $k,$ для которого найдутся $k$ последовательных членов этой последовательности, которые делятся на $m.$
Поделиться572020-02-10 00:27:47
56 - 2004/05
331. Найдите все тройки $(x, y, n)$ положительных целых чисел, удовлетворяющих равенству \[ (x-y)^n=xy. \]
332. Точки $A,$ $B,$ $C,$ $D$ лежат в указанном порядке на окружности $o.$ Точка $S$ лежит внутри окружности $o,$ при этом \[ \measuredangle SAD = \measuredangle SCB \ \textrm{и}\ \measuredangle SDA = \measuredangle SBC. \] Прямая, содержащая биссектрису угла $ASB,$ пересекает окружность $o$ в точках $P$ и $Q.$ Докажите, что $PS = QS.$
333. В квадратной таблице размером $2n \times 2n,$ где $n$ --- натуральное число, заполненной $4n^2$ действительными числами с суммой равной 0 (по одному числу в каждой клетке таблицы). Абсолютное значение каждого числа не превосходит 1. Докажите, что абсолютная величина суммы всех чисел одного ряда (вертикального или горизонтального) не превышает $n.$
334. Дано действительное число $c> -2.$ Докажите, что если числа $x_1, x_2, ..., x_n$ ($n \geq 2$) положительные и \[ \begin{array}{r} \sqrt{x_{1}^{2}+cx_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+cx_{2}x_{3}+x_{3}^{2}}+\ldots+\sqrt{x_{n}^{2}+cx_{n}x_{1}+x_{1}^{2}}=\\
=\sqrt{c+2}(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}), \end{array} \] то $c =2$ либо $x_1 = x_2 = ... = x_n.$
335. Пусть $k$ обозначает натуральное число, большее 1, и пусть $m = 4k^2-5.$ Покажите, что найдутся положительные целые числа $a,$ $b$ такие, что каждый член последовательности $(x_n),$ заданной формулами \[ x_{1}=a,\ x_{2}=b,\ x_{n+2} = x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{для}\ n\geq 1, \] взаимно прост с $m.$
336. Докажите, что внутри каждого выпуклого многоугольника с площадью 1 содержится выпуклый шестиугольник, площадь которого не менее 3/4.
Поделиться582020-02-10 00:28:01
57 - 2005/06
337. Решите в действительных числах $a, b, c, d, e$ систему уравнений \[ \begin{cases} a^2 = b^3 + c^3 \\ b^2 = c^3 + d^3 \\ c^2 = d^3 + e^3 \\ d^2 = e^3 + a^3 \\ e^2 = a^3 + b^3 \\ \end{cases} \]
338. Найдите все положительные целые числа $k,$ для которых число $3^k+5^k$ является степенью целого числа с натуральным показателем большим 1.
339. Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF,$ в котором $AC = DF,$ $CE = FB$ и $EA = BD.$ Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника, пересекаются в одной точке.
340. Над тремя числами выполняются следующие операции. Выбираем два числа и заменяем их их суммой и произведением, оставшееся число не меняется. Определите, можно ли, начав с тройки (3, 4, 5) и выполнив операции, получить три числа, которые являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
341. Дан тетраэдр $ABCD,$ в котором $AB = CD.$ Вписанная в тетраэдр касается граней $ABC$ и $ABD$ соответственно в точках $K$ и $L.$ Докажите, что если точки $K$ и $L$ являются центрами тяжести граней $ABC$ и $ABD,$ то $ABCD$ является правильным тетраэдром.
342. Найдите все пары целых чисел $a,$ $b,$ для которых существует многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что произведение $(x^2 + ax + b)\cdot P(x)$ является многочленом вида \[ x^n +c_{n-1}x + \dots + c_1x + c_0, \] где каждое из чисел $c_0, c_1, ..., c_{n-1}$ равно 1 или $-1.$
Поделиться592020-02-10 00:28:12
58 - 2006/07
343. В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ является центром его описанной окружности, отрезок $CD$ является высотой, точка $E$ лежит на стороне $AB,$ а точка $M$ является серединой отрезка $CE.$ Прямая, перпендикулярная прямой $OM$ и проходящая через точку $M,$ пересекает прямые $AC,$ $BC$ соответственно в точках $K,$ $L.$ Докажите, что \[ \frac{LM}{MK} = \frac{AD}{DB}. \]
344. Положительное целое число назовем белым, если оно равно 1 или равно произведению четного числа простых чисел (не обязательно различных). Остальные положительные целые числа назовем чёрными.
Исследуйте, найдется ли такое положительное целое число, что сумма его белых делителей равна сумме его черных делителей.
345. Плоскость разделили горизонтальными и вертикальными линиями на единичные квадраты. В каждом квадрате написали положительное целое число, при этом каждое положительное целое число было написано ровно один раз. Решите, можно ли было сделать так, чтобы каждое написанное число было делителем суммы чисел, написанных в четырех соседних квадратах.
346. Дано целое число $n\ge 1.$ Найдите количество различных значений, которые принимает выражение $k\cdot m,$ где $k,$ $m$ --- целые числа, удовлетворяющие неравенству \[ n^2\le k\le m\le (n+1)^2. \]
347. Дан тетраэдр $ABCD$ такой, что \[ \begin{split}\measuredangle BAC+ \measuredangle BDC & =\measuredangle ABD+ \measuredangle ACD, \\ \measuredangle BAD+ \measuredangle BCD & =\measuredangle ABC+ \measuredangle ADC. \end{split} \] Докажите, что центр описанной около тетраэра сферы лежит на прямой, проходящей через середины ребер $AB$ и $CD.$
348. Последовательность $a_0,$ $a_1,$ $a_2,$ $\ldots $ определяется условиями: $a_0=-1$ и \[ a_n+ \frac{a_{n-1}}{2}+ \frac{a_{n-2}}{3}+ \ldots+ \frac{a_1}{n}+ \frac{a_0}{n+1}=0 \qquad\hbox{для }n\ge 1. \] Покажите, что $a_n>0$ для $n\ge 1.$
Поделиться602020-02-10 00:28:24
59 - 2007/08
349. В клетках таблицы размером $n \times n$ написаны числа $1, 2, ..., n^2,$ при этом числа $1, 2, ..., n$ расположены в первом ряду (слева направо), числа $n+1, n+2, ..., 2n$ во втором и так далее. Выбрали $n$ клеток таблицы, из которых никакие две не расположены в одной строке или столбце. Пусть $a_i$ обозначает число, которое находится в выбранной клетке, лежащей в строке с номером $i.$ Докажите, что \[ \frac{1^2}{a_1} + \frac{2^2}{a_2} + \dots + \frac{n^2}{a_n} \geqslant \frac{n+2}{2} - \frac{1}{n^2+1}. \]
350. Дана функция $f(x, y, z)$ от трех действительных переменных такая, что для любых действительных чисел $a, b, c, d, e$ выполняется равенство \[ f (a, b, c)+f (b, c, d)+f (c, d, e)+f (d, e, a)+f (e, a, b)= a +b + c +d +e. \] Докажите, что для любых действительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ ($n \geqslant 5$) справедливо равенство \[ f(x_1 ,x_2 ,x_3 )+ f(x_2 ,x_3 ,x_4 )+ \dots+ f(x_n ,x_1 ,x_2 ) = x_1 +x_2 + ... + x_n. \]
351. Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE,$ в котором $BC = DE,$ \[ \measuredangle ABE = \measuredangle CAB = \measuredangle AED - 90^{\circ} \text{ и }\measuredangle ACB = \measuredangle ADE. \] Докажите, что четырехугольник $BCDE$ является параллелограммом.
352. Каждая точка плоскости с целыми координатами окрашена либо в черный, либо в белый цвет. Докажите, что из окрашенных точек можно выбрать несколько одноцветных точек так, чтобы образованная ими фигура имела центр симметрии.
353. Площади всех сечений параллелепипеда $R,$ проходящих через центры его трёх рёбер, среди которых нет параллельных и не имеющих общих точек, равны. Докажите, что параллелепипед $R$ является кубом.
354. Пусть $S$ обозначает множество положительных целых чисел, представимых в виде $a^2 +5b^2,$ где $a$ и $b$ --- взаимно простые числа. Пусть простое число $p$ дает остаток 3 при делении на 4. Покажите, что если некоторое положительное кратное $p$ принадлежит множеству $S,$ то и число $2p$ принадлежит $S.$