Страшевич С, Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Предисл. А. Пелчинского и А. Шинцеля. Пер. с польск. Ю. А. Данилова под ред. В. М. Алексеева. --- M. «Мир», 1978. 338 с. с ил.
П3Р
Сообщений 41 страница 50 из 71
Поделиться412020-02-10 00:15:31
40 - 1988/89
235. За круглым столом сидело четное количество людей. После обеденного перерыва участники сели на произвольно выбранные места за столом. Докажите, что есть два человека, разделенные таким же количеством людей, что и до перерыва.
236. На плоскости даны три окружности $k_1,$ $k_2,$ $k_3.$ Окружности $k_2$ и $k_3$ касаются внешним образом в точке $P,$ окружности $k_3$ и $k_1$ --- в точке $Q,$ окружности $k_1$ и $k_2$ --- в точке $R.$ Прямая $PQ$ пересекает окружность $k_1$ повторно в точке $S,$ а прямая $PR$ --- в точке $T.$ Прямая $SR$ пересекает окружность $k_2$ повторно в точке $U,$ a прямая $TQ$ пересекает $k_3$ повторно в точке $V.$ Покажите, что точка $P$ лежит на прямой $UV.$
237. Ребра куба пронумерованы числами от 1 до 12.
(a) Докажите, что для любой нумерации найдется по крайней мере восемь троек целых чисел $(i,j,k),$ $1\leq i< j < k\leq 12 $ таких, что ребра с номерами $i,j,k$ являются последовательными отрезками ломаной.
(b) Приведите пример нумерации, для которой нет девяти троек со свойствами, указанными в (a).
238. Пусть $n, k$ --- натуральные числа. Выберем последовательность множеств $A_0, \ldots, A_k$ так, что $A_0 = \{1,\ldots, n\},$ а для $i = 1,\ldots, k$ множество $A_i$ является выбранным случайно подмножеством множества $A_{i-1},$ причем выбор каждого подмножества равновероятен. Рассмотрим случайную величину равную количеству элементов множества $A_k.$ Докажите, что ее математическое ожидание равно $n2^{-k}.$
239. На сфере радиуса $r$ лежат три окружности радиуса $a,$ окружности попарно касаются внешним образом и все они лежат в одной полусфере. Найдите радиус окружности, лежащей на этой сфере и касающейся всех трех данных окружностей.
Примечание. Как и на плоскости, мы говорим, что окружности касаются, если они имеют ровно одну общую точку.
240. Докажите, что для положительных действительных чисел $a, b, c, d$ выполняется неравенство \[ \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} \geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{6}}. \]
Поделиться422020-02-10 00:15:42
41 - 1989/90
241. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ что для любых действительных чисел $x,$ $y$ выполняется равенство \[ (x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y) = 4xy(x^2-y^2). \]
242. Докажите, что если $n$ --- натуральное число большее 2, а $x_1, x_2, \ldots , x_n$ --- положительные действительные числа, то \[ \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2 x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3 x_4} + \ldots + \frac{x_n^2}{x_n^2+x_1 x_2} \leq n-1. \]
243. В турнире приняли участие $n$ игроков. Каждый из них сыграл одну партию с каждым из остальных игроков, без ничьих. Докажите, что либо можно поделить участников турнира на такие две группы $A$ и $B,$ что каждый игрок из группы $A$ выиграл у каждого из группы $B,$ либо можно расположить участников по порядку $u_1, u_2, \ldots, u_n$ так, что $u_1$ выиграл у $u_2,$ $u_2$ выиграл у $u_3,$ $\ldots,$ $u_{n-1}$ выиграл у $u_n,$ $u_n$ выиграл у $u_1.$
244. Внутри квадрата с длиной стороны 1 нарисован треугольник, длина каждой стороны которого не меньше 1. Докажите, что центр квадрата принадлежит треугольнику.
245. Дана последовательность натуральных чисел $(a_n)$ такая, что $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n}{a_n} = 0.$ Докажите, что найдется число $k,$ для которого между числами $a_1 + a_2 + \ldots + a_k$ и $a_1 + a_2 + \ldots + a_k + a_{k+1}$ расположены как минимум 1990 квадратов натуральных чисел.
246. Докажите, что для любого натурального числа $n$ большего 2 число \[ \sum_{k=0}^{[n/3]} \binom{n}{3k} \] делится на 3.
Поделиться432020-02-10 00:22:58
42 - 1990/91
247. Узнайте, найдутся ли тетраэдры $T_1$ и $T_2,$ обладающие свойствами:
(a) объем тетраэдра $T_1$ больше объема тетраэдра $T_2;$
(b) площадь каждой грани тетраэдра $T_1$ не превышает площадь любой грани тетраэдра $T_2.$
248. Пусть $X$ обозначает множество точек плоскости $(x, y)$ с целыми координатами. Путем длины $n$ назовем последовательность $(P_0, P_1,\ldots, P_n)$ точек множества $X$ такую, что $|P_{i-1}P_{i}|=1$ для $i \in \{1,2,\ldots,n\}.$ Пусть $F(n)$ обозначает количество разных путей $(P_0,P_1,\ldots,P_n)$ с началом $P_0 = (0,0)$ и концом $P_n,$ лежащим на прямой, заданной уравнением $y = 0.$ Докажите, что \[ F(n) = \binom{2n}{n}. \]
249. Пусть $N$ обозначает произвольное число вида \[ \sum_{k=1}^{60} \varepsilon_k\cdot k^{k^k}, \] где каждый из коэффициентов $\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_{60}$ равен $1$ или $-1.$ Докажите, что $N$ не является пятой степенью натурального числа.
Примечание. $k^{k^k} = k^{(k^k)}.$
250. Рассмотрим на декартовой плоскости множество $V$ всех свободных векторов, обе координаты которых являются целыми числами. Найдите все функции $f,$ определенные на множестве $V$ и принимающие действительные значения, удовлетворяющие условиям:
(a) $f(v) = 1$ для каждого из четырех векторов $v\in V$ длиной $1;$
(b) $f(v+w) = f(v) + f(w)$ для каждой пары перпендикулярных векторов $v, w \in V.$
Примечание. Нулевой вектор перпендикулярен каждому вектору.
251. Неравные окружности $k_1$ и $k_2$ лежат вне друг друга. Их общие касательные пересекают прямую, проходящую через их центры, в точках $A$ и $B.$ Пусть $P$ будет произвольной точкой окружности $k_1.$ Докажите, что есть диаметр окружности $k_2,$ один конец которого лежит на прямой $PA,$ а другой --- на прямой $PB.$
252. Докажите, что для каждой тройки действительных чисел $x,y,z$ таких, что $x^2+y^2+z^2 = 2$ выполняется неравенство $x+y+z\leq 2+xyz$ и установите, когда достигается равенство.
Поделиться442020-02-10 00:23:12
43 - 1991/92
253. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, при этом $|PA|=|PD|,$ $|PB|=|PC|.$ Пусть $O$ является серединой описанной окружности треугольника $PAB.$ Докажите, что прямые $OP$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.
254. Найдите все функции $f,$ определенные на множестве положительных рациональных чисел и принимающие значения в том же множестве, такие, что для всех положительных рациональных чисел выполняются условия \[ f(x+1) = f(x)+1 \quad \text{ и }\quad f(x^3) = (f(x))^3. \]
255. Докажите, что для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_r$ выполняется неравенство \[ \sum_{n=1}^r\left(\sum_{m=1}^r \frac{a_ma_n}{m+n}\right) \geq 0. \]
Определите, для каких чисел $a_1, a_2, \ldots, a_r$ неравенство становится равенством.
256. Последовательность функций $f_0, f_1, f_2, \ldots$ определяется следующим образом: \[ f_0(x) = 8 \quad \text{ для всех } x\in \mathbb{R}, \] \[ f_{n+1}(x) = \sqrt{x^2+6f_n(x)} \text{ для } n = 0,1,2,\ldots \text{ и для всех } x\in \mathbb{R}. \] Для каждого натурального числа $n$ решите уравнение \[ f_n(x) = 2x. \]
257. В основании правильной пирамиды лежит правильный $2n$-угольник $A_1, A_2, \ldots, A_n.$ Сфера, проходящая через вершину $S$ пирамиды, пересекает боковые ребра $SA_i$ в точках $B_i$ ($i = 1,2,\ldots, 2n$). Докажите, что \[ \sum_{i=1}^n |SB_{2i-1}| = \sum_{i=1}^n |SB_{2i}|. \]
258. Докажите, что для каждого натурального числа $k$ число $(k!)^{k^2+k+1}$ является делителем числа $(k^3)!.$
Поделиться452020-02-10 00:23:25
44 - 1992/93
259. Решите в рациональных числах $t,$ $w,$ $x,$ $y,$ $z$ систему уравнений \[ \begin{cases} 2xy &= t^2 - w^2 + z^2 \\ 2xz &= t^2 - y^2 + w^2 \\ 2yz &= t^2 - w^2 + r^2. \\ \end{cases} \]
260. Точка $O$ является центром окружности $k,$ вписанной в неравнобедренную трапецию $ABCD,$ у которой середина большего основания $AB$ отмечена как $M.$ Меньшее основание $CD$ касается окружности $k$ в точке $E,$ прямая $OM$ пересекает основание $CD$ в точке $F.$ Докажите, что $|DE| = |FC|$ в том и только том случае, когда $|AB| = 2\cdot |CD|.$
261. Обозначим через $g(k)$ наибольший нечётный делитель натурального числа $k$ и положим, что \[ f(k) = \begin{cases} \frac{k}{2} + \frac{k}{g(k)} & \text{ для } k \text{ чётного,} \\ 2^{\frac{k+1}{2}} & \text{ для } k \text{ нечетного.} \end{cases} \] Последовательность $(x_n)$ задается соотношениями $x_1 = 1,$ $x_{n+1} = f(x_n).$ Покажите, что число 800 встречается среди членов этой последовательности ровно один раз. Найдите $n,$ для которого $x_n = 800.$
262. Дан выпуклый многогранник, все грани которого являются треугольниками. Вершины многогранника покрашены тремя цветами. Докажите, что количество граней, имеющих вершины все трёх цветов, чётно.
263. Найдите все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ которые удовлетворяют следующим условиям: \[ f(-x)=-f(x), \quad f(x+1)=f(x)+1 \quad \text{ для }x \in \mathbb{R}, \] \[ f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{f(x)}{x^2} \quad \text{ для } x\neq 0. \]
264. Определите, можно ли найти объём тетраэра зная площади его граней и радиус описанной около него сферы (то есть, является ли объём тетраэдра функцией площадей его граней и радиуса описанной сферы).
Поделиться462020-02-10 00:25:21
45 - 1993/94
265. Найдите все тройки $(x,y,z)$ положительных рациональных чисел, для которых числа $x+y+z,$ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z},$ $xyz$ являются натуральными.
266. На плоскости даны две параллельные прямые $k$ и $\ell$ и окружность, не пересекающая прямую $k.$ Из точки $A,$ лежащей на прямой $k,$ провели касательные к окружности, пересекающие прямую $\ell$ в точках $B,$ $C.$ Прямая $m$ проходит через точку $A$ и середину отрезка $BC.$ Покажите, что все такие прямые $m$ (соответствующие разным вариантам выбора точки $A$ на прямой $k$) имеют общую точку.
267. Дано целое число $c \geq 1.$ Каждому подмножеству $A$ множества $\{1,2, \ldots, n\}$ поставим в соответствие число $w(A)$ из множества $\{1, 2, \ldots, c\}$ так, чтобы выполнялось условие: \[ w(A \cap B) = \min(w(A),w(B)) \quad \text{ для } A, B \subset \{1,2, \ldots, n\}. \]
Пусть $a(n)$ равно количеству таких соответствий. Вычислите $ \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a(n)}.$
268. Имеются три сосуда без нанесенных на них шкал: пустой объёмом $m$ литров, пустой объёмом $n$ литров и наполненный водой объёмом $(m+n)$ литров. Числа $m$ и $n$ --- натуральные взаимно простые числа. Докажите, что для любого $k \in \{1,2, \ldots , m+n-1\}$ можно получить с помощью переливания воды в третьем сосуде ровно $k$ литров воды.
269. Точки $A_1, A_2, \ldots , A_8$ являются вершинами пераллелепипеда с центром $O.$ Покажите, что \[ 4\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2. \]
270. Различные действительные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ($n \geq 4$) удовлетворяют равенствам \[ \sum_{i=1}^n x_i = 0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1. \] Докажите, что из этих чисел можно выбрать четыре разных числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ такие, что \[ a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^n x_i^3 \leq a+b+d+nabd. \]
Поделиться472020-02-10 00:25:46
46 - 1994/95
271. Найдите количество подмножеств множества $\{1,2, \ldots, 2n\},$ в которых уравнение $x + y = 2n+1$ не имеет решений.
272. Диагонали выпуклого пятиугольника делят его на пятиугольник и десять треугольников. Чему равно наибольшее число треугольников, которые имеют одинаковую площадь?
273. Дано простое число $p \geq 3.$ Определим последовательность $(a_n)$ с помощью равенств: \[ \begin{split} a_n = n & \text{ для } n=0,1,2,\ldots,p-1, \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-p} & \text{ для } n\geq p. \end{split} \] Найдите остаток от деления числа $a_{p^3}$ на $p.$
274. Для данного натурального числа $n \geq 1$ найдите наименьшее значение выражения \[ x_1 + \frac{x_2^2}{2} + \frac{x_3^3}{3} + \ldots + \frac{x_n^n}{n}, \] где $x_1, x_2, \ldots, x_n$ --- положительные числа, удовлетворяющие условию \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} = n. \]
275. Пусть $n$ и $k$ обозначают натуральные числа. Из урны, в которой лежат $n$ карточек, пронумерованных числами от 1 до $n,$ вынимают карточки по одной, без возврата. Когда появляется карточка с числом, кратным $k,$ мы прекращаем вынимать карточки. Для данного $n$ найдите те числа $k \leq n,$ для которых математическое ожидание количества извлеченных из урны карточек равно ровно $k.$
276. В пространстве даны три луча $k,$ $l,$ $m,$ не лежащие в одной плоскости и с общим началом $P.$ Точка $A,$ отличная от $P,$ принадлежит лучу $k.$ Покажите, что найдется единственная пара точек $B,$ $C,$ лежащих соответственно на $l$ и $m$ таких, что \[ |PA| + |AB| = |PC| + |CB| \quad \text{и} \quad |PB| + |BC| = |PA| + |AC|. \]
Поделиться482020-02-10 00:25:58
47 - 1995/96
277. Найдите все такие пары $(n,r)$, где $n$ --- положительное целое число, а $r$ --- действительное число, для которых многочлен $(x + 1)^n - r$ делится на многочлен $2x^2 + 2x + 1.$
278. Внутри данного треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ такая, что: $$|\measuredangle PBC|=|\measuredangle PCA| < |\measuredangle PAB|.$$ Прямая $BP$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $B$ и $E.$ Описанная окружность треугольника $APE$ пересекает прямую $CE$ в точках $E$ и $F.$ Докажите, что точки $A,$ $P,$ $E,$ $F$ являются последовательными вершинами четырехугольника и что отношение площади четырехугольника $APEF$ к площади треугольника $ABP$ не зависит от выбора точки $P.$
279. Даны натуральное число $n \geq 2$ и положительные действительные числа $a_1, a_2, \ldots , a_n,$ сумма которых равна 1.
(a) Докажите, что для любых положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с суммой равной 1 выполняется неравенство \[ 2\sum_{i<j} x_ix_j \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i}. \]
(b) Найдите все наборы положительных чисел $x_1, x_2, \ldots , x_n$ с суммой равной 1, для которых неравенство становится равенством.
Примечание. Запись $\sum\limits_{i<j} x_ix_j$ означает сумму из $\binom{n}{2}$ слагаемых, соответствующих всем парам индексов $i,j$ из множества $\{1, 2, \ldots, n\},$ удовлетворяющих условию $i < j.$
280. В тетраэдре $ABCD$ выполняются следующие равенства: \[ |\measuredangle BAC| = |\measuredangle ACD| \quad \text{и} \quad |\measuredangle ABD| = |\measuredangle BDC|. \] Докажите, что ребра $AB$ и $CD$ имеют одинаковую длину.
281. Пусть для натурального числа $k\geq 1$ запись $p(k)$ означает наименьшее простое число, которое не является делителем числа $k.$ Если $p(k) > 2,$ то пусть $q(k)$ равно произведению простых чисел меньших $p(k),$ а если $p(k) = 2,$ то пусть $q(k) = 1.$ Определим последовательность $(x_n)$ с помощью: \[ x_0 = 1, \quad x_{n+1} = \frac{x_n p(x_n)}{q(x_n)} \text{ для } n = 0,1,2,\ldots . \] Найдите все натуральные числа $n,$ для которых выполняется равенство $x_n = 111111.$
282. Из множества всех перестановок $f$ элементов множества $\{1,2, \ldots, n\},$ удовлетворяющих условию \[ f(i) \geq i-1 \quad \text{ для } i=1, 2, \ldots, n, \] выбирается одна (выбор каждой перестановки равновероятен). Пусть $p_n$ --- вероятность того, что выбранная перестановка удовлетворяет условию \[ f(i) \leq i+1 \quad \text{ для } i=1, 2, \ldots, n. \] Найдите все натуральные $n,$ для которых $p_n > \frac{1}{3}.$
Поделиться492020-02-10 00:26:10
48 - 1996/97
283. Положительные действительные числа $x_1,$ $ x_2,$ $ x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7$ удовлетворяют уравнениям: \[ x_6 = 144\ \textrm{и}\ x_{n+3} = x_{n+2}(x_{n+1} + x_n) \ \textrm{для} \ n = 1, 2, 3,4. \] Найдите $x_7.$
284. Найдите все тройки действительных чисел $x,$ $y,$ $z,$ удовлетворяющие уравнениям \[ \left\{ \begin{array}{l} 3(x^2+y^2+z^2)=1,\\ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = xyz(x + y + z)^3. \end{array}\right. \]
285. Углы между медианами боковых граней $ABD,$ $ACD,$ $BCD$ тетраэдра $ABCD,$ проведенными из вершины $D,$ и ребрами, к которым они проведены, равны. Покажите, что площадь каждой боковой грани меньше суммы площадей двух других боковых граней.
286. Последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$ задается формулами \[ a_1 = 0, \quad a_n = a_{[n/2]} + (-1)^{n(n+1)/2}\quad \textrm{для}\ n > 1. \] Для каждого целого числа $k \geq 0$ найдите количество индексов $n$ таких, что \[ 2^k \leq n < 2^{k+1}, \qquad a_n = 0. \]
Примечание. Запись вида $[n/2]$ обозначает наибольшее целое число не превышающее $n/2.$
287. Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE,$ в котором $DC = DE$ и $\measuredangle DCB = \measuredangle DEA = 90^\circ.$ Пусть $F$ --- точка на стороне $AB$ такая, что $AF:BF = AE:BC.$ Докажите, что $\measuredangle FCE = \measuredangle ADE$ и $\measuredangle FEC = \measuredangle BDC.$
288. На окружности радиуса $1$ лежат $n$ различных точек ($n \geq 2$). Пусть $q$ равно числу отрезков с концами в этих точках, длина которых превышает $\sqrt{2}.$ Докажите, что $3q \leq n^2.$
Поделиться502020-02-10 00:26:22
49 - 1997/98
289. Найдите все наборы целых чисел $(a, b, c, x, y, z),$ удовлетворяющие системе уравнений \[ \left\{\begin{array}{l} a + b + c = xyz\\ x + y + z = abc \end{array}\right. \] и условиям $a\geq b \geq c \geq 1 $ , $ x\geq y\geq z \geq 1.$
290. Последовательность Фибоначчи $(F_n)$ задается равенствами: \[ F_0 = F_1 = 1,\ F_{n+2} = F_n + F_{n+1} \ \textrm{для}\ n = 0,1, 2,\ldots . \] Найдите все пары $(k, m)$ целых чисел ($ m > k \geq 0 $), для которых в последовательности $(x_n),$ определяемой условиями \[ x_0 = \frac{F_k}{F_m}, \quad x_{n+1} = \left\{\begin{array}{cll} \frac{2x_n-1}{1-x_n}&\textrm{где}&x_n \neq 1\\ 1&\textrm{где}&x_n = 1 \end{array}\right. \quad (n = 0,1,2,3,\ldots) \] встретится число $1.$
291. Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ является основанием пирамиды $ABCDES.$ Плоскость пересекает ребра $SA,$ $SB,$ $SC,$ $SD,$ $SE$ соответственно в точках$A',$ $B',$ $C',$ $D',$ $E'$ (отличных от вершин пирамиды). Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольников $ABB'A',$ $BCC'B',$ $CDD'C',$ $DEE'D',$ $EAA'E'$ лежат в одной плоскости.
292. Последовательность $(a_n)$ задается равенствами \[ a_1 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{[n/2]}\ \textrm{для}\ n = 2,3,4,\ldots \] Докажите, что в этой последовательности содержится бесконечно много чисел, кратных $7.$
Примечание. Запись вида $[n/2]$ обозначает наибольшее целое число, которое не превосходит $n/2.$
293. Точки $D$ и $E$ лежат на стороне $AB$ треугольника $ABC$ и удовлетворяют равенству \[ \frac{AD}{DB}\cdot\frac{AE}{EB} = \left(\frac{AC}{CB}\right)^2. \] Докажите, что $\measuredangle ACD = \measuredangle BCE.$
294. Плоскость разбита на единичные квадраты, обе координаты вершин которых целые. Пусть $S$ является шахматной доской, полями которой являются все квадраты, содержащиеся в круге, заданном неравенством $ x^2+y^2 \leq 1998^2.$ Напишем на каждом поле шахматной доски число $+1.$ Выполним последовательность операций. Каждая из них заключается в выборе горизонтального либо вертикального либо диагонального ряда и изменении знаков всех чисел, записанных в полях выбранного ряда. (Диагональный ряд состоит из всех полей шахматной доски $S,$ центры которых лежат на прямой, пересекающей ось координат под углом $45^\circ.$) Определите, сможете ли вы добиться того, чтобы на одном поле было написано число $-1,$ а на остальных число $+1.$