Страшевич С, Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Предисл. А. Пелчинского и А. Шинцеля. Пер. с польск. Ю. А. Данилова под ред. В. М. Алексеева. --- M. «Мир», 1978. 338 с. с ил.
П3Р
Сообщений 31 страница 40 из 71
Поделиться312020-02-10 00:13:22
30 - 1978/79
175. Дано множество $\{r_1, r_2, \ldots, r_k\},$ натуральных чисел, которые дают разные остатки при делении на натуральное число $m.$ Докажите, что если $k > \frac{m}{2}$, то для каждого целого числа $n$ найдутся такие $i$ и $j$ (не обязательно различные), что число $r_i + r_j - n$ делится на $m.$
176. Докажите, что четыре различные прямые, каждая из которых проходит через вершину данного тетраэдра и центр вписанной окружности противоположной грани, пересекаются в одной точке в том и только том случае, когда все три произведения длин противоположных ребер тетраэдра равны.
177. Эксперимент состоит в выполнении $n$ независимых тестов. Вероятность успешного завершения $i$-го теста равна $p_i.$ Пусть $r_k$ обозначает вероятность успешного завершения ровно $k$ тестов. Докажите, что \[ \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k. \]
178. Даны действительные числа $A > 1$ и $B > 1$ и последовательность $(x_n),$ члены которой принадлежат отрезку $[1, A\cdot B].$ Докажите, что найдется последовательность $(y_n),$ члены которой принадлежат отрезку $[1, A]$ такая, что \[ \frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ для }\quad m,n = 1,2,\ldots .\]
179. Докажите, что произведение длин сторон вписанного в окружность радиуса 1 четырехугольника не превышает 4.
180. Многочлен $w$ степени $n$ ($n>1$) имеет $n$ различных нулей $x_1, x_2, \ldots, x_n.$ Докажите, что \[ \frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0.\]
Поделиться322020-02-10 00:13:36
31 - 1979/80
181. Найдите площадь вписанного в окружность восьмиугольника, если длины четырех его сторон равны 1, а длины остальных равны 2.
182. Докажите, что для произвольного числа $n$ существует решение уравнения \[ a^2 + b^2 + c^2 = 3abc \] в натуральных числах $a, b, c,$ каждое из которых больше $n.$
183. Пусть целое число $k$ принадлежит отрезку $[1, 99].$ Мы бросаем монету 100 раз (результаты бросков независимы). Пусть \[ \varepsilon_j = \begin{cases} 1, & \mbox{ если в $j$-том броске выпал орел,} \\ 2, & \mbox{ если в $j$-ом броске выпала решка.} \end{cases} \] Пусть $M_k$ обозначает вероятность существования числа $i$ такого, что $ k + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_i = 100.$ Как следует выбрать $k$, чтобы вероятность $M_k$ была наибольшей?
184. Докажите, что для каждого многочлена $W$ от трёх переменных существуют многочлены $U$ и $V$ такие, что \[ \begin{split} W(x, y,z) = U (x, y, z) + V (x, y, z),\\ U (x, y, z) = U (y, x, z),\\ V(x, y,z) = -V(x, z, y). \end{split} \]
185. Про тетраэдр известно, что площади шести треугольников, одна из сторон которых совпадает с ребром тетраэдра, а противолежащая ей вершина --- середина противоположного ребра тетраэдра, равны. Докажите, что тетраэдр правильный.
186. Докажите, что для каждого натурального числа $n$ верно равенство \[ \sum_{s=n}^{2n} 2^{2n-s} \binom{s}{n} = 2^{2n}. \]
Поделиться332020-02-10 00:13:47
32 - 1980/81
187. В пространстве даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b.$ Рассмотрим все пары плоскостей $\alpha$ и $\beta,$ взаимно перпендикулярных и таких, что $a\subset\alpha,$ $b\subset\beta.$ Докажите, что есть окружность такая, что каждая ее точка лежит на прямой $\alpha\cap\beta$ для некоторых $\alpha,$ $\beta.$
188. Срединные перпендикуляры сторон $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ треугольника $ABC$ пересекают прямую $BC$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $BC = XY$ в том и только том случае, когда $\tg B \cdot \tg C= 3$ или $\tg B\cdot \tg C = -1.$
189. Докажите, что для любого натурального числа $n$ и действительных чисел $\alpha,$ $x,$ удовлетворяющих неравенствам $\alpha^{n-1} \leq x \leq 1,$ $0 < \alpha <1$ выполняется неравенство \[ \prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|\leq \prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} \]
190. На столе лежат $n$ жетонов, помеченных целыми числами. Если на столе лежат два жетона, помеченных числом $k$, то мы заменяем их двумя жетонами, один из которых помечен числом $k+1,$ а другой --- числом $k-1.$ Докажите, что после конечного числа таких замен все жетоны будут помечены разными числами.
191. Найдите все пары целых чисел $(x,y),$ удовлетворяющих равенству \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]
192. В тетраэдре объема $V$ сумма квадратов длин его ребер равна $S.$ Докажите, что \[ V \leq \frac{S\sqrt{S}}{72 \sqrt{3}}. \]
Поделиться342020-02-10 00:14:00
33 - 1981/82
193. Найдите такой способ разместить вокруг круглого стола $n$ девчат и $n$ хлопцев, чтобы число $d_n - c_n$ было наибольшим, где $d_n$ --- количество девчат, сидящих между двумя хлопцами, а $c_n$ --- количество хлопцев, сидящих между двумя девчатами.
194. Дан вписанный в окружность четырехугольник $ABCD.$ Прямая, проходящая через середину стороны $\overline{AB}$ и точку пересечения диагоналей, перпендикулярна стороне $\overline{CD}.$ Докажите, что стороны $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ параллельны или диагонали перпендикулярны.
195. Найдите все пары положительных чисел $x, y$ такие, что \[ \begin{split} x^2 + y^2 &= a^2 + b^2 \\ x^3 + y^3 &= a^3 + b^3 \end{split} \] где $a, b$ данные положительные числа.
196. На плоскости дано конечное множество точек. Докажите, что точки могут быть накрыты открытыми квадратами $Q_1, Q_2, \dots, Q_n,$ так, что \[ 1\leq \frac{N_j}{S_j} \leq 4 \quad ( j = 1, 2,\dots, n ),\] где $N_j$ есть число точек множества, лежащих внутри квадрата $Q_j,$ а $S_j$ --- площадь квадрата $Q_j.$
197. Целые числа $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ \dots, $x_n = x_0,$ $x_{n+1} = x_1$ удовлетворяют для $k = 1, 2, \dots, n$ неравенству \[ (-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0. \] Докажите, что разность \[ \sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k| \] делится на 4.
198. Докажите, что в любом тетраэдре сумма всех двугранных углов больше $2\pi.$
Поделиться352020-02-10 00:14:15
34 - 1982/83
199. На плоскости даны выпуклый $n$-угольник $P_1, \ldots, P_n$ и точка $Q$ внутри его, не лежащая ни на одной из его диагоналей. Докажите, что если $n$ чётно, то количество треугольников $P_iP_jP_k$ ($i,j,k = 1,2,\ldots,n$), содержащих точку $Q,$ чётно.
200. Даны иррациональное число $a,$ принадлежащее интервалу $(0,1),$ и натуральное число $N.$ Докажите, что найдутся натуральные числа $p, q, r, s$ такие, что \[ \frac{p}{q} < a < \frac{r}{s}, \quad \frac{r}{s} - \frac{p}{q} < \frac{1}{N} \quad \text{и} \quad rq-ps=1. \]
201. Игрок играет на бесконечной шахматной доске. Ход заключается в определении трех, расположенных по вертикали или горизонтали, смежных (имеющих общую сторону) клеток доски, две соседние из которых заняты фишками, а третья --- пустая, удалении фишек с двух занятых ранее клеток и установке фишки на поле, которое было пустым. Докажите, что если в исходном положении фишки занимали прямоугольник с числом клеток кратным трём, то не получится получить позицию, в которой на доске останется одна фишка.
202. Даны натуральные числа $a, b, c, d$ такие, что $ab = cd.$ Докажите, что \[ \frac{\text{НОД}(a, c)\cdot \text{НОД}(a, d)}{\text{НОД}(a, b, c, d)} = a. \]
203. На плоскости даны единичные (длина каждого равна 1) векторы $\overrightarrow{a_1},$ $\overrightarrow{a_2},$ $\overrightarrow{a_3}.$ Покажите, что можно выбрать числа $\varepsilon_1,$ $\varepsilon_2,$ $\varepsilon_3,$ равные 1 или $-1$ такие, что длина вектора $\varepsilon_1\overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2\overrightarrow{a_2} + \varepsilon_3\overrightarrow{a_3}$ будет не меньше 2.
204. Докажите, что если в тетраэдре все двугранные углы острые, то все его грани --- остроугольные треугольники
Поделиться362020-02-10 00:14:28
35 - 1983/84
205. Найдите количество функций $f,$ отображающих $n$-элементное множество в себя, таких, что $f^{n-1}$ --- постоянная функция, а $f^{n-2}$ --- непостоянная функция, где $f^k = f\circ f \circ \ldots \circ f,$ $n$ --- данное натуральное число, большее 2.
206. Для данного натурального числа $n$ и всех $i = 1, 2, \ldots, n, $ $j = 1, 2, \ldots$ определим \[ a_{j,i} = \begin{cases} 1 &\text{ при }j=i, \\ 0 &\text{ при }j\neq i. \end{cases} \] При $i = n + 1,\ldots, 2n,$ $j = 1,2,\ldots, n,$ \[
a_{j,i} = -\frac{1}{n}. \] Докажите, что для любой перестановки $p$ множества $\{1, 2,\ldots, 2n\}$ выполняется неравенство \[ \sum_{j=1}^n \left| \sum_{k=1}^n a_{j, p(k)}\right| \geq \frac{n}{2}. \]
207. Дан правильный октаэдр $W$ с центром $O.$ В плоскости $P,$ проходящей через точку $O,$ выбраны окружности $K(O, r_1)$ и $K(O, r_2)$ с центром $O$ и радиусами $r_1$ и $r_2$, соотвественно. Покажите, что если $K(O, r_1) \subset P\cap W \subset K(O, r_2),$ то \[ \frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
208. Результат $n$ подбрасываний монеты записывается в виде $(a_1, a_2, \ldots, a_n),$ где $a_i = 1$ или $a_i = 2$ в зависимости от того, что выпало в $i$-том броске --- орёл или решка. Пусть $b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j$ для $j = 1, 2,\ldots, n,$ а $p(n)$ --- вероятность того, что в последовательности $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ встретится число $n.$ Выразите $p(n)$ через $p(n-1)$ и $p(n-2).$
209. Правильный шестиугольник с длиной стороны 1 принадлежит объединению шести кругов радиуса 1. Докажите, что ни одна из вершин шестиугольника не принадлежит двум из этих кругов.
210. Города $P_1,\ldots, P_{1025}$ обслуживаются авиакомпаниями $A_1, \ldots, A_{10},$ при этом для каждой пары городов $P_k$ и $P_m$ ($k \neq m $) есть авиакомпания, самолеты которой летают из $P_k$ в $P_m$ и из $P_m$ в $ P_k$ без промежуточных посадок. Докажите, что некоторая авиакомпания может предложить маршрут с нечетным количеством посадок, начинающийся и заканчивающийся в одном и том же городе.
Поделиться372020-02-10 00:14:39
36 - 1984/85
211. Найдите наибольшее число $k$ такое, что для каждого натурального числа $n$ существует по крайней мере $k$ натуральных чисел больших чем $n$, меньших чем $n+17$ и взаимно простых с $n(n+17)$.
212. Даны квадрат с длиной стороны 1 и положительные числа $a_1,$ $b_1,$ $a_2,$ $b_2,$ $\ldots,$ $a_n,$ $b_n$ не превосходящие 1 такие, что $a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n > 100$. Докажите, что можно покрыть данный квадрат прямоугольниками $P_i$ ($i = 1,2, \ldots, n$) размером $a_i \times b_i$ со сторонами параллельными сторонам квадрата.
213. Докажите, что если функция $f: \mathbb R \to \mathbb R$ удовлетворяет для всех $x \in \mathbb R$ равенству $f(3x) = 3f(x) - 4(f(x))^3$ и непрерывна в точке 0, то ее значения принадлежат $\langle -1;1\rangle$.
214. Внутри треугольника $ABC$ дана точка такая, что она находится на расстоянии $d_a, d_b, d_c$ от прямых $BC,CA,AB$. Пусть $r$ --- радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Докажите, что \[\frac{1}{\cfrac{1}{d_a} + \cfrac{1}{d_b} + \cfrac{1}{d_c}} <r < \frac{1}{2}(d_a + d_b + d_c).\]
215. Пусть $P$ --- многочлен от двух переменных такой, что для всех действительных чисел $t$ верно равенство $P(\cos t, \sin t) = 0$. Докажите, что существует многочлен $Q$ такой, что \[P(x,y)=(x^2-y^2-1)Q(x,y).\]
216. Доказать, что если в выпуклом многограннике, имеющем $k$ граней, есть больше, чем $k/2$ граней, из которых никакие две не имеют общего ребра, то в этот многогранник нельзя вписать сферу.
Поделиться382020-02-10 00:14:50
37 - 1985/86
217. Квадрат с длиной стороны 1 покрыт $m^2$ прямоугольниками. Докажите, что периметр одного из этих прямоугольников больше или равен $4/m$.
218. Определите максимальный объём тетраэдра, три грани которого имеют площадь 1.
219. Докажите, что если простое число $p$ и целое число $m$ удовлетворяют неравенству $0 \leq m < p-1$, то $p$ делит $\sum\limits_{j = 1}^p j^m.$
220. Найдите неотрицательные целые числа $n$, для которых существует многочлен $f$ степени $n$ с действительными коэффициентами такой, что $f(x)> f'(x)$ для всех действительных $x$.
221. В шахматном турнире участвует $2n$ ($n>1$) игроков, причем каждые два из них играли между собой самое большее одну партию. Доказать, что такой ход розыгрыша, в котором ни одна тройка участников не провела трех партии между собой, возможен тогда и только тогда, когда число всех партий, сыгранных в турнире не превышает $n^2$.
222. Дан треугольник $ABC$, точки $K$ и $L$ --- ортогональные проекции вершин $B$ и $C$ на биссектрису угла $BAC$, точка $M$ --- основание высоты треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$, точка $N$ --- середина стороны $BC$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$, и $N$ лежат на одной окружности.
Поделиться392020-02-10 00:15:04
38 - 1986/87
223. В квадрате с длиной стороны 1 находятся $n$ точек ($n> 2$). Докажите, что их можно пронумеровать $P_1, P_2, \ldots, P_n$ так, чтобы $$\sum_{i=1}^n |P_{i-1} P_i|^2 \leq 4$$ (подразумеваем, что $P_0 = P_n$).
224. В окружность длиной 1 вписан првильный $n$-угольник. Из дуг окружности с концами в вершинах многоугольника выбираются пять дуг $L_1, \ldots, L_5$, причем вероятность выбора одинакова для всех дуг. Докажите, что ожидаемая общая длина выбранных дуг $L_1\cap L_2 \cap L_3 \cap L_4 \cap L_5$ не зависит от $n$.
225. Дан многочлен $W$ с неотрицательными целыми коэффициентами. Зададим последовательность $(p_n)$, где $p_n$ равно сумме цифр числа $W(n)$. Докажите, что некоторое число встречается в последовательности $(p_n)$ бесконечно много раз.
226. Среди тетраэдров с площадью основания 1 и площадью поверхности 4, имеющими равные углы наклона боковых рёбер к основанию, найдите тетраэдр с максимальным объёмом.
227. Найдите наименьшее натуральное число $n$, для которого $n^2 - n + 11$ является произведением четырёх простых чисел (не обязательно различных).
228. Плоскость покрыта сеткой из правильных шестиугольников с длиной стороны 1. Назовем путем по сетке последовательность сторон шестиугольников такую, что любые две последовательные стороны имеют общий конец. Назовем путь кратчайшим, если его начало и конец не могут быть соединены более коротким путем. Найдите количество кратчайших путей на сетке, длина которых равна 60 и у которых одно начало.
Поделиться402020-02-10 00:15:19
39 - 1987/88
229. Числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ лежащие в промежутке $\langle 0; 1\rangle$ удовлетворяют условию \[ \sum_{i=1}^n x_i = m+r, \] где $m$ --- целое число, $r \in \langle 0; 1) $. Докажите, что \[ \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq m+r^2 \]
230. Для перестановки $P=(p_1, \ldots, p_n)$ элементов множества $\{1,2,\ldots, n\}$ определим $X(P)$ как количество элементов $p_s$ перестановки $P$ таких, что для всех $i < s$ выполняется неравенство $p_i < p_s.$ Пусть все перестановки равновероятны. Найдите математическое ожидание величины $X.$
231. Пусть $W$ --- многоугольник (необязательно выпуклый), имеющий центр симметрии. Докажите, что найдется параллелограмм, содержащий $W,$ такой, что середины всех его сторон принадлежат $W.$
232. Пусть $d$ --- целое положительное число, а $f \: \langle 0; d\rangle \to \mathbb{R}$ непрерывная функция такая, что $f(0) = f(d).$ Докажите, что существует значение $x \in \langle 0; d-1\rangle$ такое, что $f(x) = -f(x + 1).$
233. Последовательность $(a_n)$ определяется условиями $a_1 = a_2 = a_3 = 1,$ $a_{n+1} = a_{n+2}a_{n+1}+a_n$ ($n \geq 1$). Покажите, что для каждого натурального числа $r$ найдется такое число $s$, что $a_s$ делится на $r.$
234. Найдите максимальный объем тетраэдра, содержащегося в полусфере радиуса 1.