Страшевич С, Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Предисл. А. Пелчинского и А. Шинцеля. Пер. с польск. Ю. А. Данилова под ред. В. М. Алексеева. --- M. «Мир», 1978. 338 с. с ил.
П3Р
Сообщений 31 страница 40 из 71
Поделиться312020-02-10 00:13:22
30 - 1978/79
175. Дано множество {r1,r2,…,rk}, натуральных чисел, которые дают разные остатки при делении на натуральное число m. Докажите, что если k>m2, то для каждого целого числа n найдутся такие i и j (не обязательно различные), что число ri+rj−n делится на m.
176. Докажите, что четыре различные прямые, каждая из которых проходит через вершину данного тетраэдра и центр вписанной окружности противоположной грани, пересекаются в одной точке в том и только том случае, когда все три произведения длин противоположных ребер тетраэдра равны.
177. Эксперимент состоит в выполнении n независимых тестов. Вероятность успешного завершения i-го теста равна pi. Пусть rk обозначает вероятность успешного завершения ровно k тестов. Докажите, что n∑i=1pi=n∑k=0krk.
178. Даны действительные числа A>1 и B>1 и последовательность (xn), члены которой принадлежат отрезку [1,A⋅B]. Докажите, что найдется последовательность (yn), члены которой принадлежат отрезку [1,A] такая, что xmxn≤B⋅ymyn для m,n=1,2,….
179. Докажите, что произведение длин сторон вписанного в окружность радиуса 1 четырехугольника не превышает 4.
180. Многочлен w степени n (n>1) имеет n различных нулей x1,x2,…,xn. Докажите, что 1w′(x1)+1w′(x2)+…+1w′(xn)=0.
Поделиться322020-02-10 00:13:36
31 - 1979/80
181. Найдите площадь вписанного в окружность восьмиугольника, если длины четырех его сторон равны 1, а длины остальных равны 2.
182. Докажите, что для произвольного числа n существует решение уравнения a2+b2+c2=3abc в натуральных числах a,b,c, каждое из которых больше n.
183. Пусть целое число k принадлежит отрезку [1,99]. Мы бросаем монету 100 раз (результаты бросков независимы). Пусть εj={1, если в j-том броске выпал орел,2, если в j-ом броске выпала решка. Пусть Mk обозначает вероятность существования числа i такого, что k+ε1+…+εi=100. Как следует выбрать k, чтобы вероятность Mk была наибольшей?
184. Докажите, что для каждого многочлена W от трёх переменных существуют многочлены U и V такие, что W(x,y,z)=U(x,y,z)+V(x,y,z),U(x,y,z)=U(y,x,z),V(x,y,z)=−V(x,z,y).
185. Про тетраэдр известно, что площади шести треугольников, одна из сторон которых совпадает с ребром тетраэдра, а противолежащая ей вершина --- середина противоположного ребра тетраэдра, равны. Докажите, что тетраэдр правильный.
186. Докажите, что для каждого натурального числа n верно равенство \sum_{s=n}^{2n} 2^{2n-s} \binom{s}{n} = 2^{2n}.
Поделиться332020-02-10 00:13:47
32 - 1980/81
187. В пространстве даны две пересекающиеся прямые a и b. Рассмотрим все пары плоскостей \alpha и \beta, взаимно перпендикулярных и таких, что a\subset\alpha, b\subset\beta. Докажите, что есть окружность такая, что каждая ее точка лежит на прямой \alpha\cap\beta для некоторых \alpha, \beta.
188. Срединные перпендикуляры сторон \overline{AB} и \overline{AC} треугольника ABC пересекают прямую BC в точках X и Y. Докажите, что BC = XY в том и только том случае, когда \tg B \cdot \tg C= 3 или \tg B\cdot \tg C = -1.
189. Докажите, что для любого натурального числа n и действительных чисел \alpha, x, удовлетворяющих неравенствам \alpha^{n-1} \leq x \leq 1, 0 < \alpha <1 выполняется неравенство \prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|\leq \prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}}
190. На столе лежат n жетонов, помеченных целыми числами. Если на столе лежат два жетона, помеченных числом k, то мы заменяем их двумя жетонами, один из которых помечен числом k+1, а другой --- числом k-1. Докажите, что после конечного числа таких замен все жетоны будут помечены разными числами.
191. Найдите все пары целых чисел (x,y), удовлетворяющих равенству x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1).
192. В тетраэдре объема V сумма квадратов длин его ребер равна S. Докажите, что V \leq \frac{S\sqrt{S}}{72 \sqrt{3}}.
Поделиться342020-02-10 00:14:00
33 - 1981/82
193. Найдите такой способ разместить вокруг круглого стола n девчат и n хлопцев, чтобы число d_n - c_n было наибольшим, где d_n --- количество девчат, сидящих между двумя хлопцами, а c_n --- количество хлопцев, сидящих между двумя девчатами.
194. Дан вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Прямая, проходящая через середину стороны \overline{AB} и точку пересечения диагоналей, перпендикулярна стороне \overline{CD}. Докажите, что стороны \overline{AB} и \overline{CD} параллельны или диагонали перпендикулярны.
195. Найдите все пары положительных чисел x, y такие, что \begin{split} x^2 + y^2 &= a^2 + b^2 \\ x^3 + y^3 &= a^3 + b^3 \end{split} где a, b данные положительные числа.
196. На плоскости дано конечное множество точек. Докажите, что точки могут быть накрыты открытыми квадратами Q_1, Q_2, \dots, Q_n, так, что 1\leq \frac{N_j}{S_j} \leq 4 \quad ( j = 1, 2,\dots, n ), где N_j есть число точек множества, лежащих внутри квадрата Q_j, а S_j --- площадь квадрата Q_j.
197. Целые числа x_0, x_1, x_2, \dots, x_n = x_0, x_{n+1} = x_1 удовлетворяют для k = 1, 2, \dots, n неравенству (-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0. Докажите, что разность \sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k| делится на 4.
198. Докажите, что в любом тетраэдре сумма всех двугранных углов больше 2\pi.
Поделиться352020-02-10 00:14:15
34 - 1982/83
199. На плоскости даны выпуклый n-угольник P_1, \ldots, P_n и точка Q внутри его, не лежащая ни на одной из его диагоналей. Докажите, что если n чётно, то количество треугольников P_iP_jP_k (i,j,k = 1,2,\ldots,n), содержащих точку Q, чётно.
200. Даны иррациональное число a, принадлежащее интервалу (0,1), и натуральное число N. Докажите, что найдутся натуральные числа p, q, r, s такие, что \frac{p}{q} < a < \frac{r}{s}, \quad \frac{r}{s} - \frac{p}{q} < \frac{1}{N} \quad \text{и} \quad rq-ps=1.
201. Игрок играет на бесконечной шахматной доске. Ход заключается в определении трех, расположенных по вертикали или горизонтали, смежных (имеющих общую сторону) клеток доски, две соседние из которых заняты фишками, а третья --- пустая, удалении фишек с двух занятых ранее клеток и установке фишки на поле, которое было пустым. Докажите, что если в исходном положении фишки занимали прямоугольник с числом клеток кратным трём, то не получится получить позицию, в которой на доске останется одна фишка.
202. Даны натуральные числа a, b, c, d такие, что ab = cd. Докажите, что \frac{\text{НОД}(a, c)\cdot \text{НОД}(a, d)}{\text{НОД}(a, b, c, d)} = a.
203. На плоскости даны единичные (длина каждого равна 1) векторы \overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}. Покажите, что можно выбрать числа \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, равные 1 или -1 такие, что длина вектора \varepsilon_1\overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2\overrightarrow{a_2} + \varepsilon_3\overrightarrow{a_3} будет не меньше 2.
204. Докажите, что если в тетраэдре все двугранные углы острые, то все его грани --- остроугольные треугольники
Поделиться362020-02-10 00:14:28
35 - 1983/84
205. Найдите количество функций f, отображающих n-элементное множество в себя, таких, что f^{n-1} --- постоянная функция, а f^{n-2} --- непостоянная функция, где f^k = f\circ f \circ \ldots \circ f, n --- данное натуральное число, большее 2.
206. Для данного натурального числа n и всех i = 1, 2, \ldots, n, j = 1, 2, \ldots определим a_{j,i} = \begin{cases} 1 &\text{ при }j=i, \\ 0 &\text{ при }j\neq i. \end{cases} При i = n + 1,\ldots, 2n, j = 1,2,\ldots, n, a_{j,i} = -\frac{1}{n}. Докажите, что для любой перестановки p множества \{1, 2,\ldots, 2n\} выполняется неравенство \sum_{j=1}^n \left| \sum_{k=1}^n a_{j, p(k)}\right| \geq \frac{n}{2}.
207. Дан правильный октаэдр W с центром O. В плоскости P, проходящей через точку O, выбраны окружности K(O, r_1) и K(O, r_2) с центром O и радиусами r_1 и r_2, соотвественно. Покажите, что если K(O, r_1) \subset P\cap W \subset K(O, r_2), то \frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.
208. Результат n подбрасываний монеты записывается в виде (a_1, a_2, \ldots, a_n), где a_i = 1 или a_i = 2 в зависимости от того, что выпало в i-том броске --- орёл или решка. Пусть b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j для j = 1, 2,\ldots, n, а p(n) --- вероятность того, что в последовательности (b_1, b_2, \ldots, b_n) встретится число n. Выразите p(n) через p(n-1) и p(n-2).
209. Правильный шестиугольник с длиной стороны 1 принадлежит объединению шести кругов радиуса 1. Докажите, что ни одна из вершин шестиугольника не принадлежит двум из этих кругов.
210. Города P_1,\ldots, P_{1025} обслуживаются авиакомпаниями A_1, \ldots, A_{10}, при этом для каждой пары городов P_k и P_m (k \neq m ) есть авиакомпания, самолеты которой летают из P_k в P_m и из P_m в P_k без промежуточных посадок. Докажите, что некоторая авиакомпания может предложить маршрут с нечетным количеством посадок, начинающийся и заканчивающийся в одном и том же городе.
Поделиться372020-02-10 00:14:39
36 - 1984/85
211. Найдите наибольшее число k такое, что для каждого натурального числа n существует по крайней мере k натуральных чисел больших чем n, меньших чем n+17 и взаимно простых с n(n+17).
212. Даны квадрат с длиной стороны 1 и положительные числа a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n не превосходящие 1 такие, что a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n > 100. Докажите, что можно покрыть данный квадрат прямоугольниками P_i (i = 1,2, \ldots, n) размером a_i \times b_i со сторонами параллельными сторонам квадрата.
213. Докажите, что если функция f: \mathbb R \to \mathbb R удовлетворяет для всех x \in \mathbb R равенству f(3x) = 3f(x) - 4(f(x))^3 и непрерывна в точке 0, то ее значения принадлежат \langle -1;1\rangle.
214. Внутри треугольника ABC дана точка такая, что она находится на расстоянии d_a, d_b, d_c от прямых BC,CA,AB. Пусть r --- радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что \frac{1}{\cfrac{1}{d_a} + \cfrac{1}{d_b} + \cfrac{1}{d_c}} <r < \frac{1}{2}(d_a + d_b + d_c).
215. Пусть P --- многочлен от двух переменных такой, что для всех действительных чисел t верно равенство P(\cos t, \sin t) = 0. Докажите, что существует многочлен Q такой, что P(x,y)=(x^2-y^2-1)Q(x,y).
216. Доказать, что если в выпуклом многограннике, имеющем k граней, есть больше, чем k/2 граней, из которых никакие две не имеют общего ребра, то в этот многогранник нельзя вписать сферу.
Поделиться382020-02-10 00:14:50
37 - 1985/86
217. Квадрат с длиной стороны 1 покрыт m^2 прямоугольниками. Докажите, что периметр одного из этих прямоугольников больше или равен 4/m.
218. Определите максимальный объём тетраэдра, три грани которого имеют площадь 1.
219. Докажите, что если простое число p и целое число m удовлетворяют неравенству 0 \leq m < p-1, то p делит \sum\limits_{j = 1}^p j^m.
220. Найдите неотрицательные целые числа n, для которых существует многочлен f степени n с действительными коэффициентами такой, что f(x)> f'(x) для всех действительных x.
221. В шахматном турнире участвует 2n (n>1) игроков, причем каждые два из них играли между собой самое большее одну партию. Доказать, что такой ход розыгрыша, в котором ни одна тройка участников не провела трех партии между собой, возможен тогда и только тогда, когда число всех партий, сыгранных в турнире не превышает n^2.
222. Дан треугольник ABC, точки K и L --- ортогональные проекции вершин B и C на биссектрису угла BAC, точка M --- основание высоты треугольника ABC, проведенной из вершины A, точка N --- середина стороны BC. Докажите, что точки K, L, M, и N лежат на одной окружности.
Поделиться392020-02-10 00:15:04
38 - 1986/87
223. В квадрате с длиной стороны 1 находятся n точек (n> 2). Докажите, что их можно пронумеровать P_1, P_2, \ldots, P_n так, чтобы \sum_{i=1}^n |P_{i-1} P_i|^2 \leq 4 (подразумеваем, что P_0 = P_n).
224. В окружность длиной 1 вписан првильный n-угольник. Из дуг окружности с концами в вершинах многоугольника выбираются пять дуг L_1, \ldots, L_5, причем вероятность выбора одинакова для всех дуг. Докажите, что ожидаемая общая длина выбранных дуг L_1\cap L_2 \cap L_3 \cap L_4 \cap L_5 не зависит от n.
225. Дан многочлен W с неотрицательными целыми коэффициентами. Зададим последовательность (p_n), где p_n равно сумме цифр числа W(n). Докажите, что некоторое число встречается в последовательности (p_n) бесконечно много раз.
226. Среди тетраэдров с площадью основания 1 и площадью поверхности 4, имеющими равные углы наклона боковых рёбер к основанию, найдите тетраэдр с максимальным объёмом.
227. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого n^2 - n + 11 является произведением четырёх простых чисел (не обязательно различных).
228. Плоскость покрыта сеткой из правильных шестиугольников с длиной стороны 1. Назовем путем по сетке последовательность сторон шестиугольников такую, что любые две последовательные стороны имеют общий конец. Назовем путь кратчайшим, если его начало и конец не могут быть соединены более коротким путем. Найдите количество кратчайших путей на сетке, длина которых равна 60 и у которых одно начало.
Поделиться402020-02-10 00:15:19
39 - 1987/88
229. Числа x_1, x_2, \ldots, x_n лежащие в промежутке \langle 0; 1\rangle удовлетворяют условию \sum_{i=1}^n x_i = m+r, где m --- целое число, r \in \langle 0; 1) . Докажите, что \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq m+r^2
230. Для перестановки P=(p_1, \ldots, p_n) элементов множества \{1,2,\ldots, n\} определим X(P) как количество элементов p_s перестановки P таких, что для всех i < s выполняется неравенство p_i < p_s. Пусть все перестановки равновероятны. Найдите математическое ожидание величины X.
231. Пусть W --- многоугольник (необязательно выпуклый), имеющий центр симметрии. Докажите, что найдется параллелограмм, содержащий W, такой, что середины всех его сторон принадлежат W.
232. Пусть d --- целое положительное число, а f \: \langle 0; d\rangle \to \mathbb{R} непрерывная функция такая, что f(0) = f(d). Докажите, что существует значение x \in \langle 0; d-1\rangle такое, что f(x) = -f(x + 1).
233. Последовательность (a_n) определяется условиями a_1 = a_2 = a_3 = 1, a_{n+1} = a_{n+2}a_{n+1}+a_n (n \geq 1). Покажите, что для каждого натурального числа r найдется такое число s, что a_s делится на r.
234. Найдите максимальный объем тетраэдра, содержащегося в полусфере радиуса 1.