Страшевич С, Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Предисл. А. Пелчинского и А. Шинцеля. Пер. с польск. Ю. А. Данилова под ред. В. М. Алексеева. --- M. «Мир», 1978. 338 с. с ил.
П3Р
Сообщений 21 страница 30 из 71
Поделиться212020-02-10 00:11:06
20 - 1968/69
115. Доказать, что если вещественные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию $$\frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} = 0$$ где $m$ --- положительное число, то уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корень, заключенный между 0 и 1.
116. Даны попарно различные вещественные числа $a_1,a_2,\ldots,a_n.$ Найти наименьшее значение функции $$y = |x-a_1|+|x-a_2|+\cdots+|x-a_n|,\quad x \in \mathbb R.$$
117. Доказать, что восьмиугольник, все углы которого равны, а длины сторон выражаются рациональными числами, обладает центром симметрии.
118. Доказать, что если натуральные числа $a,b,p,q,r,s$ удовлетворяют условиям $$qr-ps = 1\quad \text{и}\quad \frac{p}{q} < \frac{a}{b} < \frac{r}{s},$$ то $$b \geq q+s.$$
119. При каких значениях $n$ существует многогранник, имеющий $n$ ребер?
120. Дано множество $n$ точек плоскости, не принадлежащих одной прямой. Докажите, что есть окружность, проходящая по крайней мере через три точки множества и не содержащая внутри себя ни одной из оставшихся точек множества.
Поделиться222020-02-10 00:11:21
21 - 1969/70
121. Диаметр $AB$ делит окружность на две полуокружности. На одной полуокружности $n$ точек $P_1,P_2,\ldots,P_n$ выбраны так, что точка $P_1$ лежит между $A$ и $P_2$, $P_2$ лежит между $P_1$ и $P_3$, \ldots, $P_n$ лежит между $P_{n-1}$ и $B$. Как следует выбрать точку $C$ на другой полуокружности, чтобы сумма площадей треугольников $CP_1P_2,$ $CP_2P_3,$ $CP_3P_4,$ \ldots, $CP_{n-1}P_n$ была наибольшей?
122. Даны три бесконечные последовательности \[\begin{split}
a_1, a_2, \ldots, \\
b_1, b_2, \ldots, \\
c_1, c_2, \ldots,
\end{split}\]
элементами которых служат натуральные числа, причем при $i \neq j$
$$a_i \neq a_j,\quad b_i \neq b_j,\quad c_i \neq c_j.$$
Доказать, что существуют два индекса $k$ и $l$, для которых справедливы неравенства $k < l$ и $a_k < a_l,$ $b_k < b_l,$ $c_k < c_l.$
123. Доказать, что $n > 1$ --- простое число в том и только в том случае, если для каждого натурального $k$, удовлетворяющего неравенству $1 \leq k \leq n-1,$ биномиальный коэффициент \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] делится $n.$
124. На плоскости выбраны $n$ прямоугольников со сторонами, параллельными двум заданным взаимно перпендикулярным прямым.
Доказать, что если любые два из выбранных прямоугольников имеют по крайней мере одну общую точку, то существует точка, принадлежащая всем прямоугольникам.
125. Сколькими способами множество, содержащее 12 элементов, можно разбить на 6 множеств, каждое из которых содержит по 2 элемента?
126. Найти наименьшее действительное число $A$, такое, что для каждого квадратного трехчлена $f(x)$, удовлетворяющего условию \[|f(x)| \leq 1 \quad \text{при}\quad 0 \leq x \leq 1\] выполняется неравенство $f'(0) \leq A$.
Поделиться232020-02-10 00:11:32
22 - 1970/71
127. Доказать, что если $(a_n)$ --- бесконечная последовательность попарно различных натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 0, то $$\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{a_n} < 29.$$
128. Биллиардный стол имеет форму треугольника с рациональными отношениями внутренних углов. По шару, находившемуся в некоторой внутренней точке стола, нанесли удар кием. Шар отражается от бортов по закону «угол падения равен углу отражения».
Доказать, что шар может двигаться лишь вдоль конечного числа направлений. (Предполагается, что шар не попадает в вершины треугольника.)
129. Доступ к сейфу имеют 11 членов комиссии. Каким наименьшим числом замков следует снабдить сейф для того, чтобы при определенном наборе ключей любые 6 членов комиссии, собравшись вместе, могли его открыть, а любых 5 членов комиссии было бы недостаточно? Указать, каким образом следует распределить ключи от сейфа с минимальным числом замков между членами комиссии.
130. Доказать, что если натуральные числа $x,y,z$ удовлетворяют уравнению $$x^n + y^n = z^n,$$ то $\min(x,y) \geq n.$
131. Найти наибольшее целое число $A,$ такое, что для любой перестановки натуральных чисел, не превышающих 100, сумма некоторых 10 последовательных чисел больше или равна $A.$
132. Дан правильный тетраэдр с ребрами единичной длины. Доказать следующие утверждения:
1) на поверхности $S$ тетраэдра существуют четыре точки, такие, что расстояние от любой точки поверхности $S$ до одной из этих четырех точек не превосходит 1/2;
2) на поверхности $S$ тетраэдра не существует трех точек, обладающих тем же свойством.
Под расстоянием между двумя точками, лежащими на поверхности $S$, мы понимаем нижнюю грань длин ломаных, проходящих по поверхности $S$ и соединяющих рассматриваемые точки.
Поделиться242020-02-10 00:11:42
23 - 1971/72
133. Многочлены $u_i(x) = a_ix+b_i$ ($a_i,bi$ --- вещественные числа; $i = 1,2,3$) удовлетворяют при некотором натуральном $n \geq 2$ соотношению $$u_1(x)^n +u_2(x)^n = u_3(x)^n.$$ Доказать, что эти многочлены представимы в виде $u_i(x) = c_i(Ax+B)$, где $i = 1,2,3$ и $A,B,c_1,c_2,c_3$ --- вещественные числа.
134. На плоскости заданы $n > 2$ точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что среди замкнутых ломаных, проходящих через заданные точки, наименьшую длину имеет простая замкнутая ломаная.
135. Доказать, что существует такой многочлен $P(x)$ с целочисленными коэффициентами, для которого при всех значениях $x$ из интервала $[1/10, 9/]$ выполняется неравенство $|P(x)-1/2| < 1/1000.$
136. На прямой, не имеющей общих точек со сферой $K,$ заданы точки $A$ и $B$. Основание $P$ перпендикуляра, опущенного из центра сферы $K$ на прямую $AB$, находится между точками $A$ и $B,$ причем отрезки $AP$ и $BP$ больше радиуса сферы. Рассмотрим множество $Z$ треугольников $ABC$, стороны которых $AC$ и $BC$ касаются сферы $K.$ Доказать, что треугольник $T$ обладает наибольшим из всех треугольников множества $Z,$ периметром в том и только в том случае, если он обладает наибольшей (по сравнению с другими треугольниками из множества $Z$) площадью.
137. Доказать, что все подмножества конечного множества можно расположить в таком порядке, при котором любые два соседних множества отличаются одним элементом.
138. Доказать, что при $n$, стремящемся к бесконечности, сумма цифр числа $1972^n$ неограниченно возрастает.
Поделиться252020-02-10 00:12:00
24 - 1972/73
139. Доказать, что любой многочлен можно представить в виде разности двух монотонно возрастающих многочленов.
140. Пусть $p_n$ --- вероятность того, что в последовательности $n$ бросаний монета 100 раз подряд выпадет орлом вверх. Доказать, что последовательность чисел $p_n$ сходится, и вычислить ее предел.
141. Многогранник $W$ обладает следующими свойствами:
a) у него имеется центр симметрии;
b) сечение многогранника $W$ плоскостью, проходящей через центр симметрии и любое ребро, имеет вид параллелограмма;
c) существует вершина многогранника $W$, принадлежащая ровно трем ребрам.
Доказать, что $W$ --- параллелепипед.
142. На прямой задана система отрезков, общая длина которых меньше 1. Доказать, что любое множество, состоящее из $n$ принадлежащих прямой точек, можно сдвинуть вдоль прямой на вектор, длина которого не превышает $n/2,$ так, чтобы ни одна из сдвинутых точек не принадлежала ни одному из заданных отрезков.
143. Доказать, что любую положительную правильную дробь $m/n$ можно представить в виде суммы величин, обратных попарно различным натуральным числам.
144. Доказать, что для любого многоугольника, обладающего центром симметрии, существует не более одного эллипса наименьшей площади, содержащего данный многоугольник.
Поделиться262020-02-10 00:12:17
25 - 1973/74
145. В тетраэдре $ABCD$ ребро $AB$ перпендикулярно ребру $CD$ и $\angle ACB = \angle ADB.$ Доказать, что плоскость, определяемая ребром $AB$ и серединой ребра $CD,$ перпендикулярна ребру $CD.$
146. Лососям, плывущим по горной реке, необходимо преодолеть два водопада. Вероятность того, что лосось преодолеет в данной попытке первый водопад, составляет $p > 0,$ вероятность того, что лосось преодолеет в данной попытке второй водопад, составляет $q > 0.$ Предполагается, что попытки преодолеть водопады независимы.
Вычислить вероятность того, что лосось за $n$ попыток не преодолеет первый водопад, при условии, что за $n$ попыток он не преодолеет оба водопада.
147. Пусть $r$ --- натуральное число. Доказать, что квадратный трехчлен $x^2-rx-1$ не является делителем ни одного многочлена $p(x)\neq0$ с целочисленными коэффициентами, которые по абсолютной величине меньше $r.$
148. Доказать, что для любого натурального числа $n$ и последовательности вещественных чисел $a_1,$ $a_2,$ \ldots, $a_n$ существует натуральное число $k$, для которого выполняется неравенство $$\left|\sum^k_{i=1} a_i - \sum^n_{i=k+1} a_i\right| \leq \max_{1\leq i\leq n} |a_i|.$$
149. Доказать, что если натуральные числа $n,r$ удовлетворяют неравенству $r + 3 \leq n$, то биномиальные коэффициенты $\binom{n}{r},$ $\binom{n}{r+1},$ $\binom{n}{r+2},$ $\binom{n}{r+3}$ не являются последовательными членами ни одной арифметической прогрессии.
150. Выпуклый $n$-угольник разделен диагоналями на треугольники так, что:
1) из каждой вершины выходит четное число диагоналей;
2) никакие две диагонали не имеют внутренних общих точек.
Доказать, что число $n$ делится на 3.
Поделиться272020-02-10 00:12:29
26 - 1974/75
151. Последовательность вещественных чисел $\{a_k\}$ ($k = 1, 2, \ldots$) обладает следующим свойством: существует натуральное число $n$, такое, что $a_1 + a_2 + \cdots+ a_n = 0$ и $a_{n+k} = a_k$ при $k=1,2,\ldots\,.$ Доказать, что существует натуральное $N$, для которого выполняется неравенство $$\sum^{N+k}_{i=N} a_i \geq 0\quad \text{при}\ k = 0,1,2,\ldots\,.$$
152. На поверхности правильного тетраэдра с длиной ребер 1 выбрано конечное множество отрезков так, что любые две вершины тетраэдра можно соединить ломаной, состоящей из принадлежащих множеству отрезков. Можно ли выбрать это множество отрезков так, чтобы их общая длина была меньше $1+\sqrt{3}?$
153. Найти наименьшее положительное число $\alpha$, для которого существует такое положительное число $\beta$, чтобы для $0 \leq x \leq 1$ выполнялось неравенство $$\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \leq 2 - \frac{x^\alpha}{\beta}.$$ Для найденного значения $\alpha$ определить наименьшее положительное число $\beta,$ удовлетворяющее этому неравенству.
154. В десятичной записи некоторого натурального числа встречаются цифры 1, 3, 7 и 9. Доказать, что, переставив цифры, можно получить десятичную запись числа, делящегося на 7.
155. Доказать, что вокруг треугольника, один из внутренних углов которого равен $\alpha,$ окружность радиусом $R$ можно описать, а окружность радиусом $r$ можно вписать в него в том и только в том случае, если $$\frac{2R}{r} \geq \frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}(1-\sin\frac{\alpha}{2})}.$$
156. Ha отрезке $[0,1]$ заданы функции $S(x) = 1 - x$ и $T(x) = x/2.$ Существует ли функция вида $f = g_1 \circ g_2 \circ \cdots \circ g_n,$ где $n$ --- некоторое натуральное число, а «множители» $g_k$ при $k = 1, 2, \ldots, n$ равны либо $S(x)$, либо $T(x),$ такая, что $$f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1975}{2^{1975}}?$$
Поделиться282020-02-10 00:12:45
27 - 1975/76
157. Выяснить, рационально ли число $\sin \dfrac{\pi}{18} \sin \dfrac{3\pi}{18} \sin \dfrac{5\pi}{18} \sin \dfrac{7\pi}{18} \sin \dfrac{9\pi}{18}?$
158. Даны такие четыре последовательности вещественных чисел $\{a_n\},$ $\{b_n\},$ $\{c_n\},$ $\{d_n\}$, что при любом $n,$ $a_{n+1} = a_n + b_n,$ $b_{n+1} = b_n + c_n,$ $c_{n+1} = c_n + d_n,$ $d_{n+1} = d_n + a_n.$ Доказать, что если при некоторых $k \geq 1,$ $m \geq 1$ выполняются соотношения $a_{k+m} = a_m,$ $b_{k+m} = b_m,$ $c_{k+m} = c_m,$ $d_{k+m} = d_m$, то $a_2 = b_2 = c_2 = d_2 = 0.$
159. Доказать, что для любого тетраэдра произведения длин противоположных ребер могут быть длинами сторон некоторого треугольника.
160. Диагонали некоторого плоского четырехугольника, последовательные стороны которого имеют длины $a,b,c,d$ перпендикулярны. Доказать, что диагонали любого другого плоского четырехугольника, последовательные стороны которого имеют те же длины $a,b,c,d$, также перпендикулярны.
161. Некое судно занимается ловлей рыбы в территориальных водах иностранного государства, не имея на то соответствующего разрешения. Каждый заброс сетей приносит нарушителям улов одной и той же постоянной стоимости. Вероятность задержания судна пограничной охраной при очередном забросе сетей равна $1/k,$ где $k$ --- некоторое фиксированное натуральное число. Предполагается, что событие, состоящее в задержании или незадержании судна при очередном забросе сетей, не зависит от предшествующего хода лова. При задержании судна пограничной охраной вся пойманная ранее рыба конфискуется и дальнейший лов становится невозможным. Капитан намеревается уйти из территориальных вод после $n$-го заброса сетей. Поскольку возможность задержания судна пограничной охраной отнюдь не исключена, прибыль от лова рыбы представляет собой случайную величину.
Найти число $n$, при котором ожидаемая величина прибыли максимальна.
162. Возрастающая функция $f$, заданная на множестве натуральных чисел, обладает тем свойством, что для любой пары натуральных чисел $(k,l)$ $$f(k\cdot l) = f(k)+ f(l).$$ Доказать, что существует такое вещественное число $p > 1$, для которого при $n=1,2,3,\ldots$ $f(n) = \log_p n$.
Поделиться292020-02-10 00:12:56
28 - 1976/77
163. Дан четырехугольник $ABCD,$ о плоских углах которого известно следующее \[\measuredangle BAD = 60^{\circ}, \quad \measuredangle BAC = 40^{\circ}, \quad \measuredangle ABD = 80 ^{\circ}, \quad \measuredangle ABC = 70^{\circ}.\] Докажите, что $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.
164. Дано натуральное число $s\geq3.$ Рассмотрим последовательности кругов $(K_n)$ и выпуклых $s$-угольников $(W_n)$ такие, что \[K_n \supset W_n \supset K_{n+1} \ \text{ при } n = 1, 2, \ldots.\] Докажите, что последовательность радиусов $K_n$ стремится к нулю.
165. Даны множество $A = \{0, 1, 2, 3, \ldots, 2^{2n-1}\}$ и функция $f: A \to A$ такая, что для всех наборов $(x_0, x_1, \ldots, x_{2n-1}),$ все члены которых равны 0 или 1, верно равенство \[ \begin{split} f(x_0 + 2x_1 + 2^2x_2 + \ldots + 2^{2n-1}x_{2n-1}) = (1 - x_0) + 2x_1 + \\ + (1 - x_2)\cdot 2^2 + x_3 \cdot 2^3 + \ldots + (1 - x_{2n-2}) \cdot 2^{2n-2} + \\ + x_{2n-1}\cdot 2^{2n-1}. \end{split} \] Докажите, что если числа $a_1, a_2, \ldots, a_9 \in A$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то последовательность $(f(a_1), f(a_2), \ldots, f(a_9))$ невозрастающая.
166. Функция $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ дифференцируема и удовлетворяет для всех $x$ равенству $h(ax) = b h(x),$ где $a$ и $b$ --- данные действительные числа такие, что $0 \neq |a| \neq 1.$ Кроме того, $h'(0) \neq 0$ и функция $h'$ непрерывна в точке $x = 0.$
Докажите, что $a = b$ и что существует действительное число $c$ такое, что $h(x) = cx.$
167. Покажите, что для любого выпуклого многоугольника найдется окружность, проходящая через три последовательные вершины многоугольника, такая, что все вершины многоугольника лежат на ней или внутри неё.
168. Дан многочлен \[W(x)= (x-a)^k\cdot Q(x),\] $a \neq 0,$ $Q$ --- ненулевой многочлен, $k$ --- натуральное число. Докажите, что $W$ имеет по крайней мере $k + 1$ ненулевой коэффициент.
Поделиться302020-02-10 00:13:11
29 - 1977/78
169. Луч света отражается от сторон данного выпуклого угла на плоскости в соответствии с принципом равенства углов падения и отражения. Луч исчезает после попадания в вершину угла. Докажите, что существует натуральное число $n$ такое, что любой луч внутри угла отражается не более $n$ раз.
170. Рассмотрим множество точек координатной плоскости с целочисленными координатами, из которых хотя бы одна не делится на 4. Докажите, что не удастся разбить эти точки на пары так, чтобы расстояние между точками в каждой паре было равно 1; другими словами, бесконечная шахматная доска, из которой вырезали поля с координатами кратными 4, не может быть покрыта костяшками домино.
171. Докажите, что если \[ x^{2m} \cdot P(x, y) + y^{2m} \cdot Q(x, y) = (x+y)^{2m} \cdot R(x, y),\] где $m$ --- натуральное число, $P, Q, R$ --- многочлены степени меньшей $m,$ то каждый из многочленов --- нулевой.
Примечание. Степенью ненулевого многочлена $W(x, y) = \sum a_{ij}x^iy^j$ называется наибольшая сумма $i + j$, для которой $a_{ij}\neq 0.$ Степень нулевого многочлена считаем равной 0.
172. Пусть $X$ --- $n$-элементное множество. Докажите, что сумма количества элементов множеств $A \cap B$ по всем парам $(A, B)$ подмножеств множества $X$ равна $n\cdot 4^{n-1}.$
173. Дано действительное число $a.$ Определим последовательность $(a_n)$: \[ a_1 = a,\quad a_{n+1} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right), & \text{jeżeli}\ a_n \neq 0, \\ 0, &\text{jeżeli}\ a_n = 0. \end{cases} \] Докажите, что последовательность $(a_n)$ содержит бесконечно много неположительных и бесконечно много неотрицательных членов.
174. Докажите, что если в тетраэдре $h_1, h_2, h_3, h_4$ --- длины высот, $d_1, d_2, d_3$ --- расстояния между противоположными ребрами, то \[ \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} + \frac{1}{h_3^2} + \frac{1}{h_4^2} = \frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2} + \frac{1}{d_3^2} \]