Страшевич С, Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Предисл. А. Пелчинского и А. Шинцеля. Пер. с польск. Ю. А. Данилова под ред. В. М. Алексеева. --- M. «Мир», 1978. 338 с. с ил.
П3Р
Сообщений 11 страница 20 из 71
Поделиться112020-02-10 00:02:59
10 - 1958/59
55. Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство
\[\frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \cdot \frac{a^3+b^3}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}.\]
56. В равностороннем треугольнике $ABC$ выбрана точка $O$ и из неё опущены перпендикуляры $OM$, $ON$, $OP$ на стороны $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что сумма длин отрезков $AP$, $BM$, $CN$ не зависит от положения точки $O$.
57. Дана пирамида с квадратным основанием $ABCD$ и вершиной $S$. Найти кратчайший путь по поверхности пирамиды, который начинается и кончается в вершине и проходит через все вершины основания пирамиды.
58. Докажите, что если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с целочисленными коэффициентами имеет рациональный корень, то по крайней мере одно из чисел $a$, $b$, $c $ четно.
59. В плоскости треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в таких точках $D$ и $E$, что $AD = BE$. Найдите геометрическое место середин $M$ отрезков $DE$.
60. Дан треугольник, длины сторон которого $a$, $b$, $c$ образуют арифметическую прогрессию. Его углы так же образуют арифметическую прогрессию. Найдите отношение сторон этого треугольника.
Поделиться122020-02-10 00:03:17
11 - 1959/60
61. Докажите, что если $n$ --- целое число большее $ 4 $, то $2^n$ больше $n^2$.
62. Через высоту правильного тетраэдра проведена плоскость, которая пересекает боковые грани вдоль трех прямых, образующих с плоскостью основания тетраэдра углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Докажите, что \[\tg^2 \alpha + \tg^2 \beta + \tg^2 \gamma =12.\]
63. На окружности выбрано 6 различных точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ так, что хорда $AB$ параллельна $DE$, а $DC$ параллельна $AF$. Докажите, что хорда $BC$ параллельна $EF$.
64. Докажите, что если уравнение $x^4 + ax + b = 0$ имеет два равных корня, то \[\left( \frac{a}{4} \right)^4 = \left( \frac{b}{3} \right)^3.\]
65. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены все возможные четырехзначные числа, не содержащие повторяющихся цифр. Найдите сумму этих чисел.
66. На стороне прямоугольника выбрана точка $M$. Найдите кратчайший путь, начинающийся и заканчивающийся в точке $M$ и имеющий общую точку с каждой из сторон прямоугольника.
Поделиться132020-02-10 00:03:35
12 - 1960/61
67. Доказать, что любое натуральное число, не совпадающее с целой степенью числа 2, представимо в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел.
68. Докажите, что если $a+b=1$, то \[a^5 + b^5 \geq \frac{1}{16}.\]
69. Доказать, что если сечение тетраэдра плоскостью имеет форму параллелограмма, то полупериметр этого параллелограмма заключен между длинами наименьшего и наибольшего ребер тетраэдра.
70. Доказать, что если длина любой из сторон треугольника меньше $1$, то площадь треугольника меньше $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
71. Четыре прямые, пересекаясь в шести точках, образуют четыре треугольника. Доказать, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку.
72. Некто написал шесть писем шести различным людям и заготовил шесть конвертов с их адресами. Сколькими способами можно вложить письма в конверты, чтобы ни одно письмо не попало тому лицу, которому оно адресовано?
Поделиться142020-02-10 00:03:54
13 - 1961/62
73. Докажите, что если числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($n \geq 2$ --- натуральное число) образуют арифметическую прогрессию и ни одно из них не равно нулю, то \[\frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}.\]
74. Внутри данного выпуклого четырехугольника найти такую точку, чтобы отрезки прямых, соединяющие ее с серединами сторон четырехугольника, делили четырехугольник на четыре равновеликие по площади части.
75. Какому условию должны удовлетворять углы треугольника $ABC$, для того, чтобы биссектриса угла $A$, медиана, проведенная из вершины $B$ и высота, опущенная из вершины $C$, пересекались в одной точке?
76. Сколькими способами множество, состоящее из $n$ предметов, можно разделить на 2 множества?
77. Докажите, что если $n$ --- натуральное число большее $2$, то \[\sqrt[n + 1]{n+1} < \sqrt[n]{n}.\]
78. Любые две из трех заданных прямых $a$, $b$, $c$ --- скрещивающиеся. Можно ли построить такой параллелепипед, чтобы три его ребра лежали на прямых $a$, $b$, $c$?
Поделиться152020-02-10 00:04:12
14 - 1962/63
79. Доказать, что два натуральных числа, все цифры которых --- единицы, взаимно просты в том и только в том случае, если количества их цифр взаимно просты.
80. В пространстве заданы четыре различные точки $A$, $B$, $C$, $D$. Доказать, что три отрезка, соединяющие середины отрезков $AB$ и $CD$, $AC$ и $BD$, $AD$ и $BC$, имеют общую середину.
81. Из данного треугольника вырезать прямоугольник наибольшей площади.
82. Докажите, что для всех натуральных чисел $n$ выполняется неравенство \[1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n-1}.\]
83. Доказать, что многочлен пятой степени \[P(x) = x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6\] не представим в виде произведения двух многочленов меньших степеней с целочисленными коэффициентами.
84. Через вершину трехгранного угла, в котором рёбра не перпендикулярны противоположным граням, в плоскости каждой грани провели прямую перпендикулярно противоположному ребру. Докажите, что полученные прямые лежат в одной плоскости.
Поделиться162020-02-10 00:04:27
15 - 1963/64
85. Покажите, что неравенство \[\frac{1}{3} \leq \frac{\tg 3\alpha}{\tg \alpha} \leq 3\] не выполняется ни при каком $\alpha$.
86. Докажите, что если $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ и $b_1 < b_2 < \ldots < b_n$, где $n \geq 2$, то \[(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)(b_1 + b_2 + \ldots + b_n) < n(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n).\]
87. Дан тетраэдр $ABCD$, рёбра которого $AB, BC, CD, DA$ касаются сферы. Докажите, что точки касания лежат в одной плоскости.
88. Докажите, что если уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с действительными коэффициентами имеет все действительные корни, то и корни уравнения $3x^2 + 2ax + b = 0$ тоже действительные.
89. Дан острый угол и окружность внутри угла. Найдите точку $M$ на данной окружности такую, что сумма расстояний от $M$ до сторон угла наименьшая.
90. Дана пирамида $SABCD,$ основание которой имеет форму выпуклого четырехугольника $ABCD$ с взаимно перпендикулярными диагоналями $AC$ и $BD$. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины $S$ на основание пирамиды, совпадает с точкой $O$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD.$ Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на боковые грани пирамиды, лежат на одной окружности.
Поделиться172020-02-10 00:04:46
16 - 1964/65
91. Докажите утверждение: длины $a$, $b$, $c$ сторон треугольника и величины в радианах $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ противолежащих им углов удовлетворяют неравенству \[\frac{\pi}{3}\leq \frac{a \alpha + b \beta +c \gamma}{a+b+c}<\frac{\pi}{2}.\]
92. Докажите, что если числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $$x^2+px-1=0,$$ где $p$ --- нечетное число, то для всех натуральных $n$ числа $x_1^n+x_2^n$ и $x_1^{n+1}+x_2^{n+1}$ целые и взаимно простые.
93. На окружности выбрано $n > 2$ точек. Каждая точка соединена отрезком прямой с каждой из остальных точек. Можно ли начертить все эти отрезки одним росчерком пера так, чтобы конец первого отрезка совпал с началом второго, конец второго отрезка --- с началом третьего, конец третьего отрезка --- с началом четвертого и так далее, а конец последнего отрезка совпал с началом первого?
94. Докажите, что если целые числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству \[2a^2 + a = 3b^2 + b,\] то числа $a-b$ и $2a+2b+1$ являются квадратами целых чисел.
95. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ делят соответственно стороны $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ ABC $ в отношении $k_1$, $k_2$, $k_3$. Найдите отношение площадей треугольников $A_1B_1C_1$ и $ABC$.
96.
Поделиться182020-02-10 00:10:32
17 - 1965/66
97. Решить в целых числах уравнение $$x^4 +4y^4 = 2(z^4 +4u^4).$$
98. Докажите, что для положительных целых чисел $ k, m, n $ многочлен \[P(x) = x^{3k+2} + x^{3m+1} + x^{3n}\] делится на многчлен $x^2 + x + 1$.
99. Доказать, что сумма квадратов площадей ортогональных проекций граней прямоугольного параллелепипеда на одну и ту же плоскость не зависит от положения этой плоскости в том и только в том случае, если прямоугольный параллелепипед является кубом.
100. Докажите, что если неотрицательные действительные числа $x_1,$ $x_2,$ \ldots, $x_n$ ($n$ --- натуральное число) удовлетворяют неравенству $x_1 +\cdots+x_n \leq \frac{1}{2},$ то $$(1-x_1)(1-x_2)\cdots(1-x_n) \geq \frac{1}{2}.$$
101. В выпуклом шестиугольнике $ABCDEF$ каждая диагональ $AD,$ $BE,$ $CF$ делит его на две равновеликие части. Доказать, что диагонали $AD,$ $BE,$ $CF$ проходят через одну и ту же точку.
102. На плоскости произвольно выбраны 6 точек. Доказать, что отношение наибольшего из отрезков, попарно соединяющих эти точки, к наименьшему больше или равно $\sqrt{3}.$
Поделиться192020-02-10 00:10:43
18 - 1966/67
103. Найдите наибольшую степень 2, которая является делителем числа \[L_n = (n+1)(n+2)\cdot\ldots\cdot2n,\] где $n$ --- натуральное число.
104. Докажите, что если точки $A_1, B_1, C_1,$ лежащие соответственно на сторонах $BC, CA, AB$ треугольника $ABC,$ являются ортогональными проекциями точки $P$ треугольника на его стороны, то \[AC_1^2 + BA_1^2 + CB_1^2 = AB_1^2 + BC_1^2 + CA_1^2.\]
105. В зале находятся 100 человек, каждый из которых знаком по крайней мере с 67 из остальных присутствующих. Доказать, что в зале непременно найдутся четыре человека, из которых любые два знакомы друг с другом. (Мы предполагаем, что если $A$ знаком с $B,$ то $B$ знаком с $A$.)
106. Докажите, что многочлен $x^3 + x + 1$ является делителем многочлена $$P_n(x) = x^{n + 2} + (x+l)^{2n+1}$$ для всех целых $n \geq 0$.
107. Доказать, что если многоугольник с нечетным числом сторон вписан в окружность и все его углы равны, то такой многоугольник правильный.
108. Даны сфера и плоскость, которая не имеет с ней общих точек. Найдите геометрическое место центров окружностей, по которым конусы, с лежащей на плоскости вершиной, касаются сферы.
Поделиться202020-02-10 00:10:55
19 - 1967/68
109. На какое наибольшее число областей можно разделить плоскость с помощью $n$ пар параллельных линий?
110. Докажите, что для каждого натурального $n$ \[\frac{1}{3} + \frac{2}{3\cdot 5} + \frac{3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \ldots + \frac{n}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n+1)} < \frac{1}{2}.\]
111. В тетраэдре $ABCD$ длины ребер $AD$, $BD$, $CD$ равны. На плоскости $ABC$ выбраны неколлинеарные точки $A_1, B_1, C_1$. Прямые $DA_1,$ $DB_1,$ $DC_1$ пересекают описанную около тетраэдра сферу в точках $A_2, B_2, C_2$, отличных от точки $D$. Докажите, что точки $A_1,$ $B_1,$ $C_1,$ $A_2,$ $B_2,$ $C_2$ лежат на поверхности сферы.
112. Дано натуральное число $n > 2.$ Построить такой набор из $n$ попарно различных чисел $a_1,\ldots,a_n,$ чтобы множество сумм \[a_i + a_j \quad (i = 1,2, \ldots,n, \quad j= 1,2, \ldots,n, \; i\neq j)\] содержало как можно меньше различных чисел, а также построить набор из $n$ чисел $b_1,\ldots,b_n$, чтобы множество сумм \[b_i + b_j \quad (i = 1,2, \ldots,n, \quad j= 1,2, \ldots,n, \; i\neq j)\] содержало как можно больше различных чисел.
113. На плоскости расположены $n \geq 4$ точек, из которых любые четыре служат вершинами выпуклого четырехугольника. Доказать, что все эти точки совпадают с вершинами некоторого выпуклого многоугольника.
114. Даны множество $n > 3$ точек на плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и натуральное число $k < n.$ Доказать следующие утверждения:
(a) если $k \leq \frac{n}{2},$ то каждую точку заданного множества можно соединить отрезками прямых по крайней мере с $k$ другими точками множества так, что среди проведенных отрезков прямых не будет трех сторон одного и того же треугольника;
(b) если $k > \frac{n}{2}$ и каждая точка заданного множества соединена отрезками прямых с $k$ другими точками множества, то среди проведенных отрезков прямых найдутся три стороны одного и того же треугольника.