10 - 1958/59

55. Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство
$$\frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \cdot \frac{a^3+b^3}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}.$$

56. В равностороннем треугольнике $ABC$ выбрана точка $O$ и из неё опущены перпендикуляры $OM$, $ON$, $OP$ на стороны $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что сумма длин отрезков $AP$, $BM$, $CN$ не зависит от положения точки $O$.

57. Дана пирамида с квадратным основанием $ABCD$ и вершиной $S$. Найти кратчайший путь по поверхности пирамиды, который начинается и кончается в вершине и проходит через все вершины основания пирамиды.

58. Докажите, что если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с целочисленными коэффициентами имеет рациональный корень, то по крайней мере одно из чисел $a$, $b$, $c$ четно.

59. В плоскости треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в таких точках $D$ и $E$, что $AD = BE$. Найдите геометрическое место середин $M$ отрезков $DE$.

60. Дан треугольник, длины сторон которого $a$, $b$, $c$ образуют арифметическую прогрессию. Его углы так же образуют арифметическую прогрессию. Найдите отношение сторон этого треугольника.

12 - 1960/61

67. Доказать, что любое натуральное число, не совпадающее с целой степенью числа 2, представимо в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел.

68. Докажите, что если $a+b=1$, то $$a^5 + b^5 \geq \frac{1}{16}.$$

69. Доказать, что если сечение тетраэдра плоскостью имеет форму параллелограмма, то полупериметр этого параллелограмма заключен между длинами наименьшего и наибольшего ребер тетраэдра.

70. Доказать, что если длина любой из сторон треугольника меньше $1$, то площадь треугольника меньше $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

71. Четыре прямые, пересекаясь в шести точках, образуют четыре треугольника. Доказать, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку.

72. Некто написал шесть писем шести различным людям и заготовил шесть конвертов с их адресами. Сколькими способами можно вложить письма в конверты, чтобы ни одно письмо не попало тому лицу, которому оно адресовано?

14 - 1962/63

79. Доказать, что два натуральных числа, все цифры которых --- единицы, взаимно просты в том и только в том случае, если количества их цифр взаимно просты.

80. В пространстве заданы четыре различные точки $A$, $B$, $C$, $D$. Доказать, что три отрезка, соединяющие середины отрезков $AB$ и $CD$, $AC$ и $BD$, $AD$ и $BC$, имеют общую середину.

81. Из данного треугольника вырезать прямоугольник наибольшей площади.

82. Докажите, что для всех натуральных чисел $n$ выполняется неравенство $$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n-1}.$$

83. Доказать, что многочлен пятой степени $$P(x) = x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6$$ не представим в виде произведения двух многочленов меньших степеней с целочисленными коэффициентами.

84. Через вершину трехгранного угла, в котором рёбра не перпендикулярны противоположным граням, в плоскости каждой грани провели прямую перпендикулярно противоположному ребру. Докажите, что полученные прямые лежат в одной плоскости.

16 - 1964/65

91. Докажите утверждение: длины $a$, $b$, $c$ сторон треугольника и величины в радианах $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ противолежащих им углов удовлетворяют неравенству $$\frac{\pi}{3}\leq \frac{a \alpha + b \beta +c \gamma}{a+b+c}<\frac{\pi}{2}.$$

92. Докажите, что если числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $$x^2+px-1=0,$$ где $p$ --- нечетное число, то для всех натуральных $n$ числа $x_1^n+x_2^n$ и $x_1^{n+1}+x_2^{n+1}$ целые и взаимно простые.

93. На окружности выбрано $n > 2$ точек. Каждая точка соединена отрезком прямой с каждой из остальных точек. Можно ли начертить все эти отрезки одним росчерком пера так, чтобы конец первого отрезка совпал с началом второго, конец второго отрезка --- с началом третьего, конец третьего отрезка --- с началом четвертого и так далее, а конец последнего отрезка совпал с началом первого?

94. Докажите, что если целые числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $$2a^2 + a = 3b^2 + b,$$ то числа $a-b$ и $2a+2b+1$ являются квадратами целых чисел.

95. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ делят соответственно стороны $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$ в отношении $k_1$, $k_2$, $k_3$. Найдите отношение площадей треугольников $A_1B_1C_1$ и $ABC$.

96.

18 - 1966/67

103. Найдите наибольшую степень 2, которая является делителем числа $$L_n = (n+1)(n+2)\cdot\ldots\cdot2n,$$ где $n$ --- натуральное число.

104. Докажите, что если точки $A_1, B_1, C_1,$ лежащие соответственно на сторонах $BC, CA, AB$ треугольника $ABC,$ являются ортогональными проекциями точки $P$ треугольника на его стороны, то $$AC_1^2 + BA_1^2 + CB_1^2 = AB_1^2 + BC_1^2 + CA_1^2.$$

105. В зале находятся 100 человек, каждый из которых знаком по крайней мере с 67 из остальных присутствующих. Доказать, что в зале непременно найдутся четыре человека, из которых любые два знакомы друг с другом. (Мы предполагаем, что если $A$ знаком с $B,$ то $B$ знаком с $A$.)

106. Докажите, что многочлен $x^3 + x + 1$ является делителем многочлена $$P_n(x) = x^{n + 2} + (x+l)^{2n+1}$$ для всех целых $n \geq 0$.

107. Доказать, что если многоугольник с нечетным числом сторон вписан в окружность и все его углы равны, то такой многоугольник правильный.

108. Даны сфера и плоскость, которая не имеет с ней общих точек. Найдите геометрическое место центров окружностей, по которым конусы, с лежащей на плоскости вершиной, касаются сферы.