Страшевич С, Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Предисл. А. Пелчинского и А. Шинцеля. Пер. с польск. Ю. А. Данилова под ред. В. М. Алексеева. --- M. «Мир», 1978. 338 с. с ил.
П3Р
Сообщений 1 страница 10 из 71
Поделиться22020-02-09 16:39:16
1 - 1949/50
1. Разложите многочлен $x^8 + x^4 + 1$ на множители не выше второй степени.
2. Даны две концентрические окружности. Постройте квадрат, две вершины которого лежат на одной окружности, а две другие на другой.
3. Доказать, что если две высоты тетраэдра пересекаются, то пересекаются и две другие его высоты.
4. Ключом, отверстие которого имеет в сечении форму правильного шестиугольника со стороной $a,$ требуется открутить гайку, имеющую в сечении форму квадрата со стороной $b.$
Какому условию должны удовлетворять длины отрезков $a$ и $b,$ чтобы это можно было сделать?
5. Докажите, что если углы треугольника удовлетворяют равенству
$$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2,$$
это этот треугольник прямоугольный.
6. Докажите, что если натуральное число $n$ больше 4 и не простое, то произведение последовательных натуральных чисел от 1 do $n-1$ делится на $n.$
Поделиться32020-02-09 23:56:36
2 - 1950/51
7. Балка длиной $a$ подвешена горизонтально за концы на двух параллельных тросах одинаковой длины $b.$ Повернем балку на угол $\varphi$ вокруг вертикальной оси, проходящей через середину балки. На сколько поднимется при этом балка?
8. Какие цифры следует вписать вместо нулей, стоящих на третьем и пятом месте в числе $3\,000\,003,$ чтобы получить число, делящееся на 13?
9. Докажите, что если $a>0$, $b>0$, $c>0$, то
\[ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) \geq 6abc.\]
10. Найдите коэффициенты уравнения
\[x^3 - ax^2 + bx - c = 0\]
такие, чтобы его корнями были $a$, $b$, $c$.
11. В окружность вписан четырехугольник $ABCD.$ Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E,$ прямые $AD$ и $BC$ --- в точке F. Биссектриса угла $AEC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ и сторону $AD$ в точке $N,$ а биссектриса угла $BFD$ пересекает сторону $AB$ в точке $P$ и сторону $CD$ в точке $Q.$
Доказать, что четырехугольник $MPNQ$ --- ромб.
12. Даны окружность и отрезок $MN.$
Найти на окружности точку $C,$ такую, чтобы треугольник $ABC,$ где $A$ и $B$ --- точки пересечения с окружностью прямых $MC$ и $NC,$ был подобен треугольнику $MNC.$
Поделиться42020-02-09 23:57:55
3 - 1951/52
13. Решить систему уравнений
\[\left\{\begin{array}{l}
xy (x - y) = ab (a - b)\\
x^3 - y^3 = a^3 - b^3.
\end{array}\right.\]
14. На сторонах $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$ точки $M$, $N$, $P$ выбраны так, что \[\frac{BM}{MC} = \frac{CN}{NA} = \frac{AP}{PB} = k,\] $k$ --- заданное число больше 1, и проведены отрезки $AM$, $BN$, $CP$. Известна площадь $S$ треугольника $ABC.$ Вычислите площадь треугольника, образованного прямыми $AM$, $BN$ и $CP$.
15. Построить четырёхугольник $ABCD$ по длинам сторон $AB$ и $CD$ и углам четырёхугольника.
16. Доказать, что если углы $A$, $B$, $C$ треугольника удовлетворяют соотношению \[\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1,\] то один из углов равен $120^\circ$.
17. Докажите, что ни одна из цифр $2$, $4$, $7$, $9$ не может быть последней цифрой числа \[1 + 2 + 3 + \ldots + n,\] где $n$ натуральное число.
18. В круглой башне, внутренний диаметр которой равен 2 м, находится винтовая лестница высотой 6 м.
Высота каждой ступени составляет 0,15 м. На виде сверху соседние ступени винтовой лестницы образуют центральный угол в $18^\circ.$ Внутренние края ступеней прикреплены к круглому столбу диаметром 0,64 м, ось которого совпадает с осью башни.
Найти наибольшую длину прямолинейного стержня, который можно пронести снизу наверх по такой лестнице (толщиной стержня и ступеней пренебречь).
Поделиться52020-02-09 23:58:36
4 - 1952/53
19. Исследуйте, имеет ли уравнение \[\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c} = 0,\] где $a$, $b$, $c$ обозначают действительные числа, действительные корни.
20. Найти геометрическое место центров прямоугольников, вершины которого принадлежат периметру данного треугольника.
21. Через каждую вершину тетраэдра с заданным объемом $V$ провели плоскость, параллельную противоположной грани тетраэдра. Вычислить объем тетраэдра, образованного этими плоскостями.
22. Докажите, что если $n$ натуральное число, то верно равенство \[(\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1},\] где $m$ --- натуральное число.
23. Из пункта $O$ по прямолинейному шоссе отправился в рейс автомобиль, едущий с постоянной скоростью $v.$ Велосипедист, который находится в точке, отстоящей на расстоянии $a$ от пункта $O$ и на расстоянии $b$ от шоссе, хочет передать водителю автомобиля письмо. С какой минимальной скоростью должен ехать велосипедист, чтобы осуществить свое намерение?
24. Какому алгебраическому соотношению должны удовлетворять углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, для того, чтобы выполнялось равенство \[\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg \alpha \tg \beta \tg \gamma?\]
Поделиться62020-02-09 23:59:03
5 - 1953/54
25. Докажите, что в равнобедренной трапеции, описанной около окружности, отрезки соединяющие точки касания противоположных сторон, проходят через точку пересечения диагоналей.
26. Какому алгебраическому соотношению удовлетворяют $A,$ $B$ и $C,$ если \[\ctg A + \frac{\cos B}{\sin A \cos C} = \ctg B + \frac{\cos A}{\sin B \cos C}.\]
27. Однородный круглый диск подвешен в горизонтальном положении на шнурке, прикрепленном к центру диска $O$. В трех различных точках $A$, $B$, $C$ на краю диска, не нарушив его равновесия, поместили грузики $p_1$, $p_2$, $p_3$. Вычислить углы $AOB$, $BOC$ и $COA$.
28. Найти значения $x,$ удовлетворяющие неравенству \[\sqrt{x} - \sqrt{x- a} > 2,\] где $a$ --- положительное число.
29. Доказать, что если в тетраэдре $ABCD$ противоположные ребра попарно равны, то есть $AB = CD$, $AC = BD$, $AD = BC$, то прямые, проходящие через середины противоположных ребер, взаимно перпендикулярны и служат осями симметрии тетраэдра.
30. По внутренней стороне обруча радиуса $2r$ катится без скольжения кружок радиуса $r$. Какую линию описывает точка, произвольно выбранная на границе кружка?
Поделиться72020-02-10 00:00:14
6 - 1954/55
31. Каким условиям должны удовлетворять вещественные числа $a$, $b$ и $c$ для того, чтобы уравнение \[x^3 + ax^2 + bx + c = 0\] имело три различных вещественных корня, образующих геометрическую прогрессию?
32. Доказать, что среди семи натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью 30, одно и только одно число делится на 7.
33. В окружность вписан равносторонний треугольник $ABC$. Докажите, что если точка $M$ лежит на окружности, то одно из расстояний $MA$, $MB$, $MC$ равно сумме двух других.
34. Докажите, что \[\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta \geq \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha + \sin \beta - 1.\]
35. На плоскости задана прямая $m$ и точки $A$ и $B,$ лежащие по разные стороны от прямой $m$. Найти на прямой $m$ такую точку $M$, чтобы разность расстояний от нее до точек $A$ и $B$ была наибольшей.
36. Через точки $A$ и $B$ проведены скрещивающиеся прямые $m$ и $n,$ перпендикулярные прямой $AB$. На прямой $m$ выбрана точка $C$ (не совпадающая с точкой $A$), а на прямой $n$ точка $D$ (не совпадающая с точкой $B$). Известны $AB=d,$ $CD=l$ и угол $\varphi$ между прямыми $m$ и $n$. Вычислить радиус сферы, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$.
Поделиться82020-02-10 00:00:59
7 - 1955/56
37. Решите систему уравнений \[\begin{array}{l} x^2y^2 + x^2z^2 = axyz\\ y^2z^2 + y^2x^2 = bxyz\\ z^2x^2 + z^2y^2 = cxyz. \end{array}\]
38. Доказать, что если \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c},\] то при любом нечетном натуральном числе $n$ \[\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n}.\]
39. На прямой заданы три различные точки $M$, $D$, $H$. Построить прямоугольный треугольник, у которого середина гипотенузы совпадает с точкой $M$, точка пересечения гипотенузы с биссектрисой прямого угла совпадает с точкой $D$ и основание высоты, опущенной на гипотенузу, совпадает с точкой $H$.
40. Пусть натуральные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству
\[a^2 + b^2 = c^2.\]
Докажите, что
1. хотя бы одно из чисел $a$, $b$ делится на $3$,
2. хотя бы одно из чисел $a$, $b$ делится на $4$,
3. хотя бы одно из чисел $a$, $b$, $c$ делится на $5$.
41. Доказать, что любой многоугольник с периметром, равным $2a$ можно накрыть кружком диаметром $a$.
42. Дана сфера радиуса $R$ и плоскость $\alpha,$ не имеющая со сферой общих точек. По плоскости $\alpha$ движется точка $S$ --- вершина конуса, касающегося сферы вдоль окружности с центром в точке $C$. Найти геометрическое место точек $C$.
Поделиться92020-02-10 00:01:33
8 - 1956/57
43. Через середину $S$ отрезка $MN$, концы которого лежат на боковых сторонах равнобедренного треугольника, проведена прямая, параллельная основанию треугольника и пересекающая боковые стороны в точках $K$ и $L$. Докажите, что ортогональная проекция отрезка $MN$ на основание треугольника равна отрезку $KL$.
44. Докажите, что между сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $A$, $B$, $C$ треугольника имеет место соотношение \[a^2 \cos^2 A = b^2 \cos^2 B + c^2 \cos^2 C + 2bc \cos B \cos C \cos 2A.\]
45. Докажите, что если функция $ax^2 + bx + c$ принимает целые значения при любом целом значении переменной $x$, то $2a$, $a+b$, $c$ --- целые числа.
46. Докажите, что если $a \geq 0$ и $b \geq 0$, то \[\sqrt{a^2 + b^2} \geq a + b - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{ab}.\]
47. Дана прямая $m$ и параллельный ей отрезок $AB$. Разделите отрезок $AB$ на три равные части пользуясь только линейкой, то есть проводя лишь прямые.
48. Дан куб с основанием $ABCD$, $AB=a$ см. Найдите расстояние от прямой $BC$ до прямой, проходящей через точку $A$ и центр $S$ грани, противоположной основанию.
Поделиться102020-02-10 00:02:12
9 - 1957/58
49. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел, среднее из которых является кубом натурального числа, делится на 504.
50. Каждая сторона выпуклого четырехугольника $ABCD$ разделена на три равные части. Через точки деления сторон $AB$ и $AD$, ближайшие к вершине $A$, проведена прямая. Аналогичные прямые проведены и через точки деления, ближайшие к вершинам $B$, $C$, $D$. Докажите, что центр тяжести четырехугольника, образованного проведенными прямыми, совпадает с центром тяжести четырехугольника $ABCD$.
51. Докажите, что если $n$ --- натуральное число, большее $1$, то
\[\cos \frac{2\pi}{n} + \cos \frac{4\pi}{n} + \cos \frac{6\pi}{n} + \ldots + \cos \frac{2n \pi}{n} = 0.\]
52. Докажите, что если $k$ натуральное число, то
\[(1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) =
1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m,\]
где $m$ --- натуральное число, зависящее от $k$. Найдите $m$.
53. Докажите теорему: В тетраэдре плоскость, делящая пополам любой из его двугранных углов, делит противолежащее ребро на отрезки, пропорциональные площадям граней, образующих данный двугранный угол.
54. Доказать, что из всех четырехугольников, описанных вокруг данной окружности, наименьшим периметром обладает квадрат.